Russell paradoksu: temel bilgiler, örnekler, formülasyon

Russell paradoksu iki birbirine bağlı mantıksal antinomi olduğunu.

Russell'ın paradoksu iki şekli

mantık setlerinde bir çelişki en sık tartışılan formu. setinin bazı üyeleri kendileri ve başkaları gibi görünüyor - hayır. tüm kümeler kümesi kümesi kendisidir, yüzden kendisine başvuran görünüyor. Boş veya boş Ancak kendisi üyesi olmamalıdır. Bu nedenle, sıfır olarak bütün kümeler kümesi, kendi içine dahil değildir. Paradoks ortaya çıktığında kendisi üyesi olsun kümesinin bir soru. ve açık olmaması gerekir eğer bu mümkündür.

Başka bir formu paradoksu özelliklerine ilişkin bir çelişkidir. Diğerleri değildir Bazı özellikler, kendilerini bakın görünüyor. Tesiste kedi değil olsun ederken mülkiyet, kendisi özelliktir özellik olmaya. Ona ait olmayan bir özellik olan özelliğini düşünün. kendisi için geçerli olup olmadığını? Yine, varsayımları ters olmalıdır. Paradoks 1901 yılında keşfedilen Bertrand Russell (1872-1970), onuruna seçildi.

öykü

Açılış Russell "Matematik İlkeleri" üzerine yaptığı çalışmaları sırasında meydana geldi. o bağımsız paradoksu keşfetmiş olsa da, diğer matematikçiler ve Ernst Zermelo dahil küme kuramı, geliştiricileri dair kanıtlar vardır David Hilbert, ondan önce çelişkilerin ilk versiyonunun farkındaydı. Russell, ancak, ilk çözümleri formüle etmeye çalıştı ve önemini tam anlamıyla takdir ilk, onun yayınlanan eserlerinde detaylı olarak paradoksu tartışılan kimin birinci oldu. "İlkeler" Bütün bir bölüm bu konunun tartışmalara ayrılmıştır ve uygulama Russell çözüm olarak önerilen türde teorisine ayırdı.

Russell herhangi setin gücü alt kümelerinin kümesi daha küçük olduğunu söylüyor Cantor kümesi teoriden hareketle, yalancı "paradoksu' keşfetti. İçinde unsurlar olduğu gibi, her elementin bir alt kümesi yalnızca bu eleman içeren ayarlanırsa etki En azından, birçok alt kümeleri olmalıdır. Bundan başka, Cantor elemanların sayısı alt-sayısına eşit olamayacağını göstermiştir. Aynı numara olsaydı, bu onların alt kümeleri üzerinde öğeleri görüntülemek olacağını ƒ özelliği var gerekecekti. Aynı zamanda bu imkansız olduğunu ispat edilebilir. diğerleri olmayabilir Bazı öğeleri, bunları içeren işlevin ƒ alt kümeleri üzerinde görüntülenebilir.

onlar ƒ görüntülediğimiz bir görsellerine, ait olmayan elemanların alt kümesini düşünün. Bu elemanların bir alt kümesi kendisi ve bu nedenle, ƒ işlev etki bir eleman üzerinde görüntüler. O zaman sorun soru bu elementin ƒ görüntüler hangi alt kümesine ait olup olmadığını sorun ortaya çıktığını olduğunu. ait olmadığı, bu mümkündür. Russell paradoksu akıl yürütme aynı hat örneği olarak görülebilir, ancak basitleştirilmiş. setin setleri veya alt kümeleri - daha ne? Setleri kendileri her alt kümeleri gibi daha setleri olması gerektiğini görünüyor. Cantor teoremi doğruysa, o zaman daha alt kümeleri olmalıdır. Russell basitçe kabul kendilerini grubunu görüntülemek ve görüntülenme edildiği bir setin dışında bütün bu unsurların, kümesini göz önünde kantoriansky yaklaşım uygulanmıştır. Gösterilen Russell tüm setleri, olmayan bir set haline gelir.

hata Frege

"Yalancı paradoksu" kümelerinin teorisinin tarihsel gelişimi üzerinde derin bir etkisi oldu. O evrensel küme kavramı son derece sorunlu olduğunu göstermiştir. O da her tanımlı koşul veya dayanağı için bu koşulu karşılayan yalnızca şeylerden çok sayıda varlığını varsayabiliriz kavramını sorguladı. versiyon setleri için doğal bir uzantısı - - vasıfları hakkında Opsiyon paradoks bir mülkün objektif varlığı veya durumun veya yüklem tarafından belirlenen her bir evrensel uyum hakkında tartışmak mümkün olup olmadığıyla ilgili ciddi şüphelere yol.

benzer varsayımlar yaptık Yakında logicians çalışmalarında çelişkiler ve sorunlar bulundu, filozoflar ve matematikçiler. XX yüzyıl başlarında - 1902 yılında Russell paradoksu bir varyantı, bir mantıksal sistemde ifade Gottlob Frege yönettiği "aritmetik Vakıflar" Hacim I, XIX mantığına ana eserlerinden biri de geliştirilebilir bulundu. Frege felsefesi birçok "uzantı" ya da "değer aralığı" kavramı olarak anlaşılmaktadır. kavramlar ögelerinden olan en yakın olan. Onlar herhangi bir koşul veya yüklem için var bekleniyor. Böylece, onun tanımlayan kavram alanına girmediğini kümesi, bir kavram vardır. Orada bu kavram ile tanımlanan bir sınıfı da olduğunu ve bunun olmaması gerekir onun kavramını tanımlarken tabidir.

Russell Yazışmalar en heyecan verici biri haline gelmiştir Haziran 1902 yılında bu çatışma hakkında Frege yazdığı ve mantık tarihinin anlattı. Frege hemen paradoks yıkıcı sonuçlarını tanıdı. Onun felsefesinde özelliklerini ilişkin tartışma versiyonu seviyelerinin kavramlar arasında ayrım tarafından çözüldü de kaydetti.

Frege kavramı TRUE fonksiyon argümanlar geçiş olarak anlaşılmaktadır. kavramlar ilk seviye ikinci seviye kavramları nesneleri böylece bu işlevlere argümanlar ve aynı almak argümanlar olarak alarak. Böylece, kavram bağımsız değişken olarak kendisini asla alamaz ve özellikleri açısından paradoks formüle edilemez. Bununla birlikte setler, genişletilmesi ya da kavramlar Frege diğer tüm nesnelerin aynı mantık tipine atıfta bulunduğu şekilde anlaşılmalıdır. Sonra her set için onu tanımlayan kavramı altında girip girmediğini bir soru var.

Frege, Russel ilk harfi "aritmetik Vakıflar" ikinci cildi aldığımda zaten baskı bitti. Hızla Russell paradoksu cevap veren bir uygulama hazırlamak zorunda kaldı. Örnekler Frege olası çözümler bir dizi ihtiva eder. Ama o bir mantıksal sistemde soyutlama seti kavramını zayıflatmak için sonucuna vardı.

orijinal olarak, bu kavram içinde yer alıp almadığının ve sadece bunu tanımlıyorsa nesne kümesine ait olduğu sonucuna varmak mümkün oldu. revize sistem sadece bir kümesini tanımlayan kavramı içine girmektedir, ancak söz konusu ayarlanmamış ve ancak eğer nesne kümesine ait olduğu sonucuna varabiliriz. Russell paradoksu ortaya çıkar.

Bununla beraber çözüm Frege ile tamamen memnun değil. Ve bu sebep oldu. Birkaç yıl sonra, çelişkinin daha karmaşık şekli değiştirilen sistem bulunamadı. bu oldu bile önce, Frege onun kararlarını bırakıp onun yaklaşımı sadece işlemez oldu sonuca görünmektedir ve bu mantık kümelerinin herhangi olmadan tamamlamak zorunda.

Yine bazıları nispeten daha başarılı alternatif çözümler önerilmiştir. Bunlar aşağıda tartışılmaktadır.

tiplerinin teorisi

bu Frege paradoks yeterli bir yanıt olan, yukarıda bu not edilmiştir grubu teorinin özellikleri için formüle versiyonu. Frege tepkisi paradoks bu forma en sık tartışılan çözümü sonrası gerçekleşti. Bu özellikler farklı tipte tabidir ve mal ne tür bunun başvurduğu öğeleriyle aynı asla gerçeğine dayanmaktadır.

Böylece, hatta soru ortaya çıkıyor, mülkiyet kendisi için geçerli olup olmadığı. tiplerinin teorisini kullanarak, böyle bir hiyerarşi öğelerini ayıran Mantıksal dili. Zaten Frege, ilk kez kullandığı rağmen tamamen açıkladı ve "ilkesi" ekinde yer alan Russell doğrulanmıştır. tip teorisi Frege seviyelerinin ayrımı daha tamamlandı. O özellikleri farklı mantığın türleri, aynı zamanda ayarlanmamış sadece paylaştı. Russell şöyle bir paradoks içinde çelişkiyi çözmek için teori yazın.

Bir felsefi yeterli olması için, özelliklerin tiplerinin teorisinin kabulü kendilerine uygulanamaz açıklamaya diye özelliklerinin doğanın teorisi geliştirilmesini gerektirmektedir. İlk bakışta, kendi mülkü esas almamız mantıklı. öz kimlik olma özelliği, aynı zamanda bir öz kimlik, görünüyor. Tesiste güzel zevkli gibi görünüyor. Aynı şekilde, görünüşe göre, bir kedi olma özelliği bir kedi olduğunu söylemek yanlış görünüyor.

Bununla birlikte, çeşitli düşünürler farklı türde bölünmesini haklı. Russel bile kariyerinde farklı zamanlarda farklı açıklamalarda bulundu. Kendi adına, Frege düzeylerinin farklı konseptlerin ayrımın altında yatan mantık doymamış kavramların teorisini gelir. fonksiyonu olarak Kavramlar, özünde, eksiktir. değer sağlamak için, onlar bir tartışma gerekir. hala onun bağımsız değişken gerektirir, çünkü aynı tip kavramını esas almamız sadece bir kavram olabilir. Bir sayının karekökünü karekökünü almak mümkün olmasına rağmen Örneğin, sadece karekök işleve bir karekök işlevini kullanın ve bir sonuç elde edilemez.

muhafazakarlık özellikleri hakkında

Başka bir olası çözüm herhangi bir koşulları veya biçimlendirilmiş bir yüklem altında paradoks özellikleri olumsuzluk özellikleri varlığıdır. Birisi bir bütün olarak hem nesnel ve bağımsız elementlerin metafizik özellikleri kaçınan eğer nominalizm paradoksu alırsak Elbette, tamamen önlenebilir.

Ancak, antinomy çözmek için bu kadar aşırı olması gerekmez. Mantık yüksek mertebeden sistemler Buna göre, Frege ve Russell geliştirilen kavramsal prensibi ne denir içerirler her açık formülleri bakılmaksızın örneğin bir özellik veya kavram formülü maç, sadece bu öğeler bir parçası olarak var nasıl kompleksin. Bunlar olursa olsun ne kadar karmaşık koşullar veya yüklemler, olası her setin niteliklerini başvurmuştur.

Bununla birlikte, böyle böyle devam kırmızı renk, sertlik, iyilik ve, örneğin, dahil, basit özelliklerin objektif varlığı hakkı veren, bir daha titiz metafizik özellikleri almak mümkündü. D. Hatta bu özellikler böyle iyilik olarak, kendileri için geçerli sağlayabilirsiniz can tür.

Ve karmaşık özellikler için aynı durum, örneğin, yedi-kafaları olan gibi "özellikleri", altı-su-yazılabilir ve benzeri yer alır. D Bu durumda, özelliği uymayan önceden belirlenmiş bir durum, ayrı ayrı anlaşılmalıdır, reddedilebilir kendi özellikleri vardır elemanı, mevcut. Böylece tek bir basit özelliklerin varlığını inkar edebilir be-mülk-o-olmayan to-self-uygulanmış ve daha muhafazakar metafizik özellikleri uygulayarak paradoksu kaçının.

Russell paradoksu: Çözüm

onun ömrü sonunda Frege tamamen setleri mantığını terk ettiğini belirtildi üstünde. setler halinde antinomiye Bu, elbette, tek çözüm: Bir bütün olarak bu tür elementlerin varlığını basit bir reddi. Buna ek olarak, diğer popüler seçenekler temelleri olan aşağıda gösterilmiştir vardır.

birçok türleri için teori

Daha önce belirtildiği gibi, Russell farklı türde özelliklerini veya kavramları sadece paylaşır türleri, daha kapsamlı bir teori için oynadı, ama aynı zamanda ayarlayın. Russell ayrı birimler topluluğuna üzerinde paylaşılan küme vb ayrı nesneler, setleri çok sayıda nesneleri setleri kabul edilir ve setleri çok sayıda değildi - .. Setleri. asla bir sürü sizin kendisi bir üyesi olarak var sağlar, türü memnun. Bu nedenle kendi üyesi olmayan tüm kümelerin belirlenmiş, çünkü bir üyesi olarak ise kendisi ihlal türü olup olmadığına dair sorulardan herhangi kümesi için vardır. Yine, burada konu tipe bölünme felsefi temellerini açıklamaya metafizik setleri açıklamaktır.

katmanlaşma

1937 yılında, V. V. Kuayn tiplerinin teorisine benzer bir şekilde, alternatif bir çözüm getirmiştir. Bu konuda temel bilgiler vardır.

eleman setleri ve diğerleri. birçok bulma varsayımı her zaman yanlış veya anlamsız olacak şekilde yapılmıştır ayırmak. Onların koşullar tanımlarken sadece sağlanabilir Setleri ihlal tipi değildir. Böylece Quine için, ifadesi "x x üye değildir" bu koşulu karşılayan tüm unsurları x kümesinin varlığını anlamına gelmez anlamlı bir ifadedir.

Bu tabakalı yalnızca ve t., E. değişkenleri, bu değişken, önceki bir çok her karakteristik bir oluşum için atama birimi değişkeni küçük atandığı pozitif tamsayılar atanmışsa, bu sistemde, bir dizi, bir açık formül A'nın için var peşinden takip. Formül sorun kümesini belirlemek için kullanılan beri bu bloklar Russell paradoksu, öncesinde ve değişken üyelik tabelada tabakalandırılmamış yaptıktan sonra aynı yoktur.

Ama Quine tutarlı "matematiksel mantık Yeni Vakıflar" denilen çıkan sistemin, olmadığını belirlemek için henüz bulunmuyor.

ret

Fraenkel (ZF) -, tamamen farklı bir yaklaşım Zermelo teorisi alınır. Burada da kümeler varlığına bir sınır belirleyebilirsiniz. Bunun yerine, başlangıçta bütün kavramlar, özelliklerine veya koşullar için bu özelliğiyle her şeyin kümesinin varlığını önerebilir veya ZF-teoride, böyle bir durumun karşılamak için düşündük Russell ve Frege, bir "yukarıdan aşağı" yaklaşım, her şey başlar "aşağıdan yukarıya".

ve boş kümenin Bireysel elemanlar kümesi oluşturur. Bu nedenle, daha önceki sistemlerde ve Russell Frege FIT aksine tüm elemanları ve hatta tüm setleri içerir evrensel kümeye ait değil. ZF setleri varlığına katı sınırlamalar koyar. sahip olanlar için açık bir şekilde kabul edilmektedir ya da tekrar eden işlemler ve bu gibi araçlar ile formüle edilebilir ki, sadece var olabilir. D.

yerine kavramı soyutlama naif kümesinin Daha sonra, DF, ayırma veya "ayırma" terimi ayrılma prensipte koşulları karşılayan, ancak ve ancak, özel bir elemanın grubu dahil olduğunu belirtmektedir ki. Bunun yerine varolan her set için, belirli bir koşulu karşılayan istisnasız tüm öğeleri kümesinin varlığını varsayarak bir Aussonderung koşulunu karşılayan orijinal setteki tüm unsurların bir alt varlığını gösterir.

Sonra soyutlama prensibi gelir: grubu A A'da her x, daha sonra, varsa, x ve ancak x tatmin Bu yaklaşım paradoks Russell giderir durum C., çünkü biz sadece kabul edemeyiz eğer koşulu karşılayan alt küme A aittir o, kendileri üyesi olmayan tüm kümelerin kümesidir.

setlerinin çok olması, seçtiğiniz veya kendileri içindedir setleri, ve bu tür olmayanlar bölmek, ancak hiçbir evrensel kümesi olduğundan hepimiz setleri set bağlı olmayan olabilir. Sorunu varsayarak olmadan Russell çelişki kanıtlanamaz ayarlar.

diğer çözümler

Buna ek olarak, "Matematik Prensipleri" türlerinin teorisinin dağılımı, Quine tarafından "Matematiksel Mantık" sisteminin genişletilmesinin yanı sıra Bernays, Gödel ve von Neumann tarafından yapılan küme teorisindeki ilerideki gelişmeler gibi, bu çözümlerin sonraki uzantıları veya modifikasyonları da gerçekleşti. Bertrand Russell'in çetin paradoksuna cevap bulunup bulunmadığı konusu hala tartışmalıdır.