Gerçek sayılar ve özellikleri

Pisagor sayı önemli unsurları ile eşit dünyanın temeli olduğunu iddia etti. Eflatun, bilmek yardımcı linkleri fenomen ve noumenon, sayısı tartılması gereken ve sonuçlara varmak için inanıyordu. sayı, matematik başlangıç noktası - Aritmetik kelimesi "arifmos" dan gelmektedir. temel elma soyut boşluklarına - Herhangi bir nesneyi tanımlamak mümkündür.

Bir gelişme faktörü olarak İhtiyaçları

Toplumun gelişiminin ilk aşamalarında insanların ihtiyaçları ihtiyaç tarafından kısıtlanmış puanı tutmak için - .. vb tahıl, iki tane torba, biri torba Bunu yapmak için, bu seti olan pozitif tamsayılar N. sonsuz bir dizi doğal sayılardır edildi

Daha sonra bir bilim olarak matematik gelişimi, bu tamsayılar Z spesifik alanda gerekli olduğunu - bu negatif değerler ve sıfır içerir. Yerli düzeyde görünüşü, başlangıçtaki muhasebe nasılsa borç ve kayıpları düzeltmek zorunda olduğu gerçeği verilmesiyle ortaya çıktı. Bilimsel bir seviyede, negatif sayılar mümkün basit çözmek için yaptık lineer denklemler. Diğer şeylerin yanı sıra, bu görüntüye artık koordinat önemsiz sistem, yani mümkündür. A. referans noktası oldu.

Bir sonraki adım bilim durduğu yerde durmuyor, çünkü daha yeni keşifler, yeni bir itme büyüme için teorik bir temel talep, fraksiyonel sayıları girmek ihtiyacı olmuştur. Yani bir tarla vardı rasyonel sayılar S.

Tüm yeni bulgular gerekçe gerektirdiğinden Son olarak, artık, akılcılık taleplerini karşılamak. Gerçek sayılar R bir alan, çünkü onların irrasyonellik belirli miktarlarda Öklid karşılaştırılamayacaklarını eserleri vardı. Yani, eski Yunan matematikçi sabit bir şekilde sadece sayıda yerleştirilmiş ama ölçülemez büyüklüklerin oranı ile karakterize olan, bir arka değeri. Nedeniyle gerçek sayılar olduğu gerçeğine böyle çağdaş matematik gerçekleşmiş olamazdı onsuz "pi" ve "e", gibi değerleri "Biz ışık gördük".

Nihai yenilik oldu karmaşık bir sayı Bu bir dizi soru cevap ve önceden girilen postülalarını yalanlanan C. Gerçek sayılar ile, pek çok sorunun kararı mümkün değildi - Nedeniyle cebir sonucu hızla gelişmesine tahmin edilebilirdi. Örneğin, karmaşık sayılar sayesinde sicim teorisi ve hidrodinamik kaos genişletilmiş denklemler çarpıyordu.

Teorisi ayarlayın. kantor

o kanıtlamak veya çürütmek mümkün değildi olarak sonsuza kavramı daima tartışmalara neden oldu. kesinlikle belirlenmiş önermeleri çalıştırılır matematik bağlamında, bu reolojik yönü halen bilim tartılır fazla, en açık kendini gösterdi.

Ancak, matematikçi Georg Cantor'un çalışmalarıyla her zaman yerine oturdu. Orada sonsuz bir dizi, ve saha R saha N fazla olması, her ikisi de izin vermedi ve sonu var sonsuz kümeler olduğunu kanıtladı. XIX yüzyılın ortalarında, fikirleri saçma ve klasik değişmez kanunları karşı bir suç olarak adlandırılan, ancak zaman onun yerine her şeyi koyacağız.

Alan R temel özellikleri

Güncel numaraları sadece dahil podmozhestva aynı özelliklere sahip, ancak elemanlar nedeniyle diğer masshabnosti tamamlanır değildir:

• Sıfır R. vardır ve R. bir C alanı c + = c, 0 aittir
• Sıfır vardır ve R. bir C alan R c x, 0 = 0 aittir
• oranı c: d, d ≠ 0, R., d vardır ve herhangi bir c için geçerlidir
• Alan R, sipariş yani eğer c ≤ d, d ≤ C, her c, sonra C = d, R. d
• R. alan R Eklenen değişmeli olduğu gibi, örneğin c + d = d + c her c, d
• Alan R çarpımı, her c, yani x c x d = d c, R. d değişmeli
• Alan R Eklenen R. F, (c + d) + f = c + (d + f) herhangi bir c, d, yani birleştirici olan
• Alan R çarpımı birleştirici yani (c x d) x f = R f herhangi c, d, c x (d x f)
• öyle ki orada buna alan R karşısında her bir dizi için, c + (c) = 0, burada R. -C c
• Alan R her numara, tersi var için bu şekilde C X C ^-1 = 1 burada c, ^-1 c R.
• Birim vardır ve, R ait böylece R. herhangi c c x 1 = C,
• O C x böylece (d + f) güç kanunu dağılımına sahiptir R. f, bir c, d c x d + c x f =
• R, alan sıfır birime eşit olmamasıdır.
• Alan R geçişlidir c ≤ d ise, d ≤ m, o zaman ≤ C üzere herhangi bir C, d, f R.
• R ve ekleme amacıyla birbirine: c Eğer ≤ d, tüm C, d + m ≤ d + d C, R. f
• bağlı R ve çarpmanın amacıyla: 0 ≤ c, her c daha sonra 0 ≤ d, 0 ≤ C X d, R. d halinde
• Negatif ve pozitif gerçek sayılar sürekli iken, diğer bir deyişle, herhangi bir c, Rf d, R, ki c ≤ f ≤ d alt simgesi vardır.

Modül alan R

Gerçek sayılar modül olarak böyle bir şeyi kapsar. olarak Belirlenmiş | f | R. herhangi f | | f = F, f ve ≤ 0 ise | f | = F, 0 ise> f. Biz geometrik değer olarak modül dikkat edecek olursak, bir mesafe - farketmez, olumlu ya da ileri negatif sıfır olarak sizi "geçti".

Kompleks ve reel sayılar. benzerlikler ve farklılıklar nelerdir?

Büyük, karmaşık ve gerçek sayılar ile ve - bu bir ve birinci sanal birimi i birleştirilmiş olması dışında, aynı kare olan -1 eşittir. Elemanlar R alanlar ve C, aşağıdaki formül ile temsil edilebilir:

• c = d + f xi, ki burada d, alan R aittir f ve i - hayali birimi.

basitçe yani sıfır kabul bu durumda R f c almak için, sayının tek gerçek kısmı vardır. kompleks sayı gerçek alanı olarak aynı özellikleri, f x i = 0 f ise = 0 olduğundan.

Saygılarımızla pratik farklar, saha R örneğin kuadratik denklemi C kutu hayali üniteyi i tanıtarak bu sınırlamayı empoze etmez ise diskriminant, negatifse çözülemez.

sonuçlar

Aksiyomların "Tuğla" ve baz matematikle, değişmez hangi varsayar. nedeniyle bilginin artması ve yeni teorilerin tanıtımı için bazıları üzerinde gelecekte sonraki adım için temeli haline gelebilir aşağıdaki "tuğla", yerleştirilir. Örneğin, doğal sayılar, gerçek alan bir reel sayılar kümesinin olmasına rağmen, onun alaka kaybetmez. Onlara barış birisinin bilgisi ile başlar tüm temel aritmetik, temelidir.

Görüş pratik açıdan, gerçek sayılar düz bir çizgi gibi görünür. Orijinini ve perde tanımlamak için, bir yön seçmek mümkündür. Doğrudan olsun ya da rasyonel, tek bir gerçek numarasına karşılık gelen, her biri nokta sonsuz sayıda oluşur. açıklamalardan sonra biz genel olarak matematik dayanmaktadır konsepti ve söz ediyoruz açıktır matematiksel analizde özellikle.