Belirsiz integral. belirsiz integraller Hesaplama

Matematiksel analiz temel bölümden bir integral hesabı olan. o belirsiz ayrılmaz bir parçasıdır - İlk nesneler, çok geniş bir alanı kapsamaktadır. lisede hala önemli bir yüksek matematik anlatılmaktadır umutları ve fırsatların giderek artan sayıda, ortaya koyduğu gibi pozisyonu o duruyor.

görünüm

İlk bakışta, modern, topikal için tamamen ayrılmaz görünüyor, ama pratikte o 1800'lere geldi çıkıyor M.Ö.. Bize varlığını daha erken kanıt ulaşmadı olarak Ana resmen Mısır'ı kabul etmek. Bu nedeniyle bilgi eksikliği, tüm süre bir olgu olarak, sadece bir yer. O bir kez daha o zamanlardan halklarının bilimsel gelişme düzeyini teyit etmektedir. Son olarak, eserler bulundu , antik Yunan matematikçileri 4. yüzyıl MÖ. Bu belirsiz integral, özü, kavisli bir şekle sahip hacmi ya da alanı (üç boyutlu ve iki boyutlu düzlemde, sırasıyla) bulmaktı kullanılan yöntem tarif eder. Hesaplama sonsuz bileşenler orijinal şekil bölünmesi ilkesine dayanıyordu, hacim (alan), kendilerine bilinmesi şartıyla. Zamanla, büyüdü yöntem, Arşimet bir parabol alanını bulmak için kullandı. Aynı zamanda benzer hesaplamalar Yunan dost bilimden tamamen bağımsız olan eski Çin'de, tatbikat.

gelişme

XI yüzyılda sonraki atılım Arap bilgini eseri haline gelmiştir "vagon" sınırlarını zorladı Abu Ali el-Basri, zaten bilinen, bize bilinen bu başvurusu, dördüncüye birinciden tutarlar ve derece toplamları hesaplamak için ayrılmaz bir formül elde edildi indüksiyon yöntemi.
bugün Minds Eski Mısırlılar kendi elleriyle sahip olan hariç, herhangi bir özel alet olmadan şaşırtıcı anıtlar yarattı tarafından takdir edilir, ancak hiçbir az zamanda bir mucize güç deli bilim adamları değil? hayatlarının güncel süreleri ile karşılaştırıldığında neredeyse ilkel görünüyor, ama belirsiz integraller kararı her yerde çıkarılabilir ve daha da geliştirilmesi için pratikte kullandı.

İtalyan matematikçi Cavalieri aldı bölünmez yöntemini getirdiğinde sonraki adım, XVI yüzyılda gerçekleşti Başına Ferma. Bu iki kişilik anda bilinen Modern integral hesabı, temellerini attı. Bunlar daha önce müstakil birimler olarak görüldü türev ve integral kavramlarını, bağladılar. Ve büyük, o zamanın matematik bulguları sınırlı kullanımı ile, kendileri tarafından mevcut parçalanmış parçacıklar oldu. birleşip ortak bir zemin bulmak için yol onun sayesinde modern, şu anda sadece doğruydu matematiksel analiz büyümek ve geliştirme fırsatı buldu.

Zamanın geçişi ile her şeyi ve ayrılmaz sembolü de değişir. Ve büyük, bu kendi yöntemiyle, örneğin, Newton bir integrallenebilir fonksiyon koymak, ya da sadece araya bir kare simgesi, kullanılan bilim adamları tayin edildi. Bu farklılık matematiksel analiz bilim adamı Gotfrid Leybnits bütün teorisi için bir dönüm bize tanıdık böyle bir karakteri tanıttı XVII yüzyıla kadar sürdü. Uzatılmış, "S" aslında bu mektupta dayanmaktadır , Latin alfabesinin ilkel toplamını ifade eder beri. integral adı 15 yıl sonra, Jakob Bernoulli sayesinde elde etti.

biçimsel tanımı

Belirsiz integral ilkel tanımına bağlıdır, bu yüzden ilk etapta bunu düşünün.

İlkel - ilkel adlandırılan uygulamada türevinin ters fonksiyonudur. Aksi takdirde: d ilkel fonksiyonu - türevi v <=> V = hacim bir fonksiyonu D, olan. İlkel Arama belirsiz integrali hesaplamak ve sürecin kendisi entegrasyon denir.

örnek:

fonksiyon s (y) = ^{y3 ve} ilkel S (y) '= (yo ^4/4).

işlevin tüm temel öğe grubu - şu şekilde bu belirsiz bir yekparedir, bunu ifade eder: ∫v (x) dx.

V (X) gerçeği sayesinde - sadece bazı ilkel orijinal fonksiyonu olan, ifade tutar: ∫v (x) dx = V (x) + C, C - sabiti. türev sıfır olduğu rasgele sabit altında, herhangi bir sabit belirtmektedir.

özellikleri

Belirsiz integral sahip olduğu özellikleri, esas olarak tanımlanması ve türevlerinin özelliklerine göre.
önemli noktaları göz önünde bulundurun:

• ilkel integral derivatif kendisi artı rasgele bir sabit Cı <=> ∫V ilkel '(x) dx = V (x) + ° C;
• bir fonksiyonun entegralinin türevi <=> (∫v (x) dx) orijinal fonksiyonudur = v (x);
• sabit entegre işareti <=> ∫kv (x) altından dışarı alınır dx = k∫v (x) k dx, - rasgele olduğu;
• integrallerin toplamı <=> ∫ (h (y) + W (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy özdeş, eşit toplamından alındığı, yekpare.

Son iki özellik belirsiz integrali doğrusal olduğu sonucuna varılabilir. Buna bağlı olarak, elimizdeki: ∫ (kV (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

çözümler belirsiz integraller sabitleme örnekleri için, bkz.

Sen ayrılmaz ∫ (3sinx + 4cosx) dx bulmalıdır:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C

Örneğin itibaren biz size belirsiz integraller çözmek için nasıl bilmiyorum sonucuna varabiliriz? Sadece tüm ilkeller bulun! Ama ilkelere arayışı aşağıda ele.

Yöntemler ve Örnekler

İntegral çözmek için, aşağıdaki yöntemleri çare olabilir:

• Tablonun yararlanmaya hazır;
• parça ile entegre;
• değişken değiştirerek entegre;
• Diferansiyel burcunda özetliyor.

tablolar

en basit ve keyifli yolu. Şu anda, matematiksel analiz belirsiz integraller temel formülünü dile oldukça geniş tablolar, övünebilir. Başka bir deyişle, size bağlı türetilmiş şablonlar vardır ve yalnızca bunlardan yararlanabilir. İşte hemen hemen her örneği gösterilebilir ana tablo pozisyonları, listesi, bir çözümü vardır:

• ∫0dy = C, burada Cı - sabiti;
• ∫dy = x + C, burada Cı - sabiti;
• ∫y ^N dy = ^{(yo, n + 1)} / (n + 1) + C, burada Cı - sabit ve n - birlik farklı sayı;
• ∫ (1 / y) dy = İn | y | + C, burada Cı - sabiti;
• ^{∫e y dy = e y + Cı} , burada Cı - sabiti;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, C - sabiti;
• ∫cosydy = SINY + C, burada Cı - sabiti;
• ∫sinydy = -cosy + C, burada Cı - sabiti;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, burada C - sabiti;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, burada C - sabiti;
• ∫dy / (1 + ^y2) = arctgy + C, burada Cı - sabiti;
• ∫chydy = çekingen + C, C - sabiti;
• ∫shydy = chy + C, C - sabiti.

Gerekirse bir tablo görünümüne birkaç adım ˙Integrali alınan yol yapmak ve zafer keyfini çıkarın. Örnek: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C

Karara göre örneğin bir tablo integrand Biz değişmedi genel ifadeye 1/5 oranında bu çarparak paralel olarak eklemek çarpan 5. yoksun olduğu açıktır.

Parçaların tarafından Entegrasyon

z (y) ve x (y) - iki işlevi göz önünde bulundurun. Onlar kendi etki alanında sürekli türevlenebilir olmalıdır. Bir farklılaşma özelliklerinde Elimizdeki: d (XZ) = XDZ + ZDX. her iki tarafı da entegre, elde ederiz: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + ZDX) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

- ∫xdz ∫zdx = ZX: Elde edilen eşitliği yeniden biz parçaları ile entegrasyon metodu tarif formülü alır.

Neden gereklidir? İkinci tablo şeklinde yakındır eğer basitleştirmek mümkündür örneklerden bazıları, diyelim olması, ∫zdx ∫xdz azaltmak için. Ayrıca, bu formül, en iyi sonuçlar için, birden fazla defa kullanılabilir.

Nasıl belirsiz integraller bu şekilde çözmek için:

• ∫ (s + 1) e ^2s ds hesaplamak için gerekli olan

∫ (x + ^{1) {z = = E 2s ds} s + y 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} = 1, dz = ds = ((s + ds} 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2S dx = ((s + 1) e ^2S) / 2-e ^2s / 4 + C;

• ∫lnsds hesaplamak gerekir

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, burada Y = S, dy = ds} = slns - ∫s X ds / s = slns - ∫ds = slns -S + C = s (LN-1) + C.

değişkeni Değiştirme

Belirsiz integraller çözme Bu ilke karmaşık olsa da, önceki iki daha talep az bulunmaktadır. Aşağıdaki gibi bir yöntemdir: olsun V (X) - bir fonksiyonu v (x) integrali. kendi içinde Örnek slozhnosochinenny içinde ayrılmaz gelir durumunda, karışık ve yanlış yolu çözümleri inmek muhtemeldir. x bağlı olarak z korurken genel anlatım görsel basitleştirilmiş olan z, x değişkeninin bu uygulama değişimi önlemek için,.

aşağıdaki gibi Matematiksel olarak, bu: ∫v (x) dx = ∫v (y (Z)) y '(Z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), x = y ( z) - yer değiştirme. Ve, tabii ki, ters fonksiyon z = Y ^-1 (x) tam bir ilişki ve değişkenlerin ilişkiyi açıklar. Önemli not - ille yeni bir diferansiyel dz ile değiştirilir diferansiyel dx, belirsiz integrali içinde değişkenin değişikliğinden bu yana sadece integrali her yerde, bunu yerine içerir.

örnek:

• ds - ∫ (s + 1) / (5 ^s2 + 2S) bulmalıdır

ikame z = (s + 1) uygulama / ^(S2 + 2s-5). Daha sonra dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Sonuç olarak, çok kolay aşağıdaki ifade hesaplamak için:

∫ (s + 1) / ^(S2 + 2s-5), ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2LN | z | + C = 1 / 2LN | ^s2 + 2s-5 | + C;

• Eğer ayrılmaz ∫2 ^s e ^s dx bulmalıdır

Aşağıdaki formda yeniden yazma çözmek için:

^{∫2 in e s ds = ∫ (} 2e) s eds.

Biz, biz vermek (hala s olan bu adım değil argüman değiştirilmesini) a = 2e tarafından ifade eden temel tablo şeklinde ayrılmaz görünüşte karmaşık:

^{∫ (2e) 'in DS = ∫a} s ds = bir s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s, e ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 ^s, e ^s / (ln2 + 1) + C

Bir diferansiyel işareti özetlersek

Ve büyük, bu belirsiz integraller yöntemi - değişkeninin değişim ilkesinin ikiz kardeşi ancak tescil sürecinde farklılıklar vardır. Bize daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Eğer ∫v (x) dx = V (X) + C ve y = z (x) daha sonra ∫v (y) dy = V (y) + C

Aynı zamanda önemsiz ayrılmaz dönüşümleri arasında yer unutmamak gerekir:

• dx d = (x + a) ve burada - her sabit;
• dx = (1 / a), d (ax + b), burada a - sabit daha ama sıfır;
• Xdx = 1 / 2D ⁽² x + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx d = (SiNx).

Biz belirsiz integral hesaplamak genel durum göz önüne alınırsa, örnekler '(x) dx = dw (x) ağırlık, genel formül altında toplanabilir.

örnekler:

• bulmalıdır ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d ² ds (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C

Online yardım

Bazı durumlarda, arıza olabilir veya tembellik veya acil ihtiyaç Sözgelimi hesap belirsiz integraller kullanmak yerine çevrimiçi istemleri kullanabilir veya. belirgin karmaşıklığı ve integrallerin tartışmalı doğası rağmen, kararın "değil ... o zaman eğer ..." ilkesine dayanmaktadır kendi özel algoritma, tabidir.

Bir karar yapay sürecinde bazı unsurları ekleyerek "zorla" bulmak için sahip olduğu durumlar vardır olarak sonuçları ulaşmak için bariz yolu vardır çünkü Tabii ki, böyle bir hesap makinesi özellikle karmaşık örnekler, ana olmayacaktır. Bu ifadenin tartışmalı doğası rağmen, matematik olarak, prensipte, soyut bir bilim ve onun temel amacı sınırlarını güçlendirmek için ihtiyaç gördüğü, doğrudur. Gerçekten de, bir pürüzsüz çalışma teorileri yukarı taşımak ve gelişmeye, bu yüzden bize verdi belirsiz integraller çözme örnekleri düşünmeyin çok zordur - bu fırsatlardan yüksekliğidir. Ama geri şeylerin teknik tarafına. hesaplamaları kontrol etmek En azından, bize yazıldığı hizmetini kullanabilirsiniz. Karmaşık ifadelerin otomatik hesaplanması için bir ihtiyaç varsa, o zaman daha ciddi bir yazılım başvurmak zorunda değilsiniz. öncelikle çevre Matlab'ı dikkat etmelidir.

uygulama

o uçağın bariz kullanımını görmek zor olduğu için ilk bakışta belirsiz integralin kararı, gerçeklerden tamamen müstakil görünüyor. Gerçekten de, doğrudan bunu yapamazsınız her yerde kullanmanızı, ancak pratikte kullanılan çözümlerin çekilme sürecinde gerekli ara eleman vardır. Bu durumda, arka farklılaşma entegrasyonu, bu şekilde aktif denklemleri çözmek sürecine katılan.
kısacası, mevcut ve geleceği şekillendiren teşkil herşeyi - Buna karşılık, bu denklemler mekanik problemler, yörünge hesaplama ve ısı iletkenliği kararı üzerinde doğrudan etkisi vardır. Biz temel olarak, yukarıda ilk bakışta sadece önemsiz kabul var olan, ayrılmaz Belirsiz örnekler daha yeni keşifleri yürütmek için.