Olasılık teorisinin temel kavramları. olasılık teorisi yasaları

Birçok kişi, "olasılık teorisi" kavramı ile karşılaştığında, bir şey dayanılmaz, çok zor olduğunu düşünerek korkuttu. Ama aslında çok trajik değil. Bugün somut örneklerle sorunları çözmek için öğrenmek, olasılık teorisinin temel kavramları bak.

bilim

Ne "olasılık teorisi" olarak matematik dalı okuyor? Bu desen notları rastgele olayların ve değişkenlerin. kumar çalışılan ilk defa on sekizinci yüzyılda Endişeli Bilimciler sorunu için. Olasılık teorisinin temel kavramları - olayı. Bu tecrübe veya gözlem tarafından belirtilen herhangi bir gerçektir. Ama deneyim nedir? olasılık teorisinin bir diğer temel kavramı. Bu koşullar bu kısmı yanlışlıkla oluşturulmaz anlamına gelir ve bir amaç ile. gözetim ile ilgili olarak, kendisi tecrübe katılmaz araştırmacı vardır, ama sadece bu olaylara şahit, o ne olup bittiğini üzerinde hiçbir etkisi yoktur.

olaylar

olay ancak sınıflandırma gereği duymayan - Biz olasılık teorisinin temel kavram öğrendik. Hepsi aşağıdaki kategorilere ayrılır:

• Güvenilir.
• Imkansız.
• Rastgele.

Ne olursa olsun olay izledi ya deney sırasında oluşturulmaktadır ki, ne olduğunu, bu sınıflandırmaya etkilenir. Ayrı ayrı karşılamak her tür sunuyoruz.

belirli olay

Bu faaliyetlerin gerekli set yapmak için bir gerçektir. Daha iyi özünü kavrayabilmek için, birkaç örnek vermek daha iyidir. Bu yasa ve fizik, kimya, ekonomi ve daha yüksek matematik bağlı olduğunu. olasılık teorisi önemli bir olay olarak böyle önemli bir kavram ihtiva etmektedir. İşte bazı örnekler:

• Biz çalışmak ve ücretlerin şeklinde ücretlendirilmektedir.
• Eh, sınavlarını geçti o bir eğitim kurumuna başvuru formunda ücret almak için bir yarışma geçti.
• Biz gerekirse geri almak, bankaya para yatırım yaptık.

Bu tür olaylar doğrudur. gerekli tüm şartları yerine varsa, beklenen sonucu elde emin olun.

imkansız olay

Şimdi olasılık teorisinin unsurları düşünün. yani imkansız - Olayların aşağıdaki türleri açıklamalar gitmek sunuyoruz. Başlamak için en önemli kural şart - imkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Bu formülasyon itibaren sorunların çözümünde derogated edilemez. Bu tür olayların örneklerini göstermek için:

• Su sıcaklığı artı on (imkansız) dondurulur.
• üretimini etkilemez elektrik eksikliği (önceki örnekte olduğu gibi imkansız).

Bu kategoride özünü yansıtan çok net yukarıda açıklandığı gibi verilmiştir fazla örnek, gerekli değildir. İmkansız olay asla hiçbir koşulda deney sırasında gerçekleşir.

Rastgele olaylar

Olasılık teorisinin unsurları inceleyerek, özel dikkat olayın verilen tipine ödenmesi gerekmektedir. Bunlar, bu bilimi okuyan olanlardır. gerçekleşmesi veya bir şey olmadığını kaydetti deneyimin sonucunda. Buna ek olarak, test süreleri sınırsız sayıda gerçekleştirilebilir. Önemli örnekler şunlardır:

• bozukluk atın - Bu olay - bu bir deneyim veya test, kartal kaybıdır.
• körlemesine torbadan topu Çekme - bu yüzden bu olay ve - testi, kırmızı top yakalandı.

Bu örnekler, genel olarak, anlaşılmalıdır, sınırsız sayıda olabilir, ancak. özetlemek ve bir tablonun olaylarla ilgili edinilen bilgi sistematize etmek. olasılık teorisi çalışmaları tüm takdim sadece ikinci tür.

isim	tanım	örnek
güvenilir	belirli koşullara tabi mutlak garantisi ile meydana gelen olaylar.	İyi bir zaman kabul sınavında okula Kabul.
imkansız	hiçbir koşulda asla Olaylar.	Otuz derecenin üzerinde bir hava sıcaklığında kar yağışı.
rasgele	Olay, hangi olabilir veya deney / test sırasında olmayabilir.	ringde bir basketbol atma sırasında veya bayan çarptı.

yasalar

Olasılık teorisi - herhangi bir olay kaybı olasılığını inceleyen bilim. diğerleri gibi, bazı kuralları vardır. Olasılık teorisinin şu kanunları:

• Rastgele değişkenin dizilerin yakınsama.
• Büyük sayılar kanunu.

bir kompleksin olasılığını hesaplarken yolu sonuçları daha kolay ve hızlı ulaşmak için karmaşık basit olayları kullanılabilir. Olasılık teorisi kanunları kolayca teoremleri bazı yardımı ile ispat edilebileceğini belirtmek gerekir. Biz ilk yasa hakkında bilgi almak için başlamak öneriyoruz.

Rastgele değişkenin dizilerin yakınsama

Birkaç tipte yakınlaşma dikkat edin:

• Rastgele değişkenin dizisi olasılık yakınsama.
• Neredeyse imkansız.
• RMS yakınsama.
• dağılımındaki Yakınsama.

Yani, anında, özünü kavramak çok zordur. İşte konuyu anlamaya yardımcı olacaktır tanımlamalar bulunmaktadır. İlk bakışla başlayın. n, sonsuza yaklaşan, dizi tarafından aranan numara sıfırdan büyük ve birim yakındır: aşağıdaki koşul ise sekansı olasılıkta yakınsama olarak adlandırılır.

neredeyse kesin, sonraki görünümüne gidin. Bunlar sıra n sonsuza eğilimi, ve Ar, bire yakın bir değere eğilimi ile rastgele değişken hemen hemen kesin yakınsar söylüyor.

Bir sonraki türü - RMS bir yakınsama. Vektör Rasgele süreçlerin SC-öğrenme yakınsama kullanıldığında koordinat Rasgele süreçlerin çalışma azaltır.

Geçen tip kısaca bakmak ve sorunların çözümüne doğrudan gitmek için izin oldu. dağılımındaki Yakınsama başka bir adı var - "zayıf", sonra neden açıklar. Zayıf yakınsama - sınır dağılım fonksiyonunun süreklilik tüm noktalarda dağılım fonksiyonları yakınsama.

sözü tutmak için emin olun: rasgele değişken olasılık uzayında tanımlanmış olmadığından zayıf yakınsama her şeyden farklıdır. durumunu sadece dağıtım işlevlerini kullanılarak oluşturulduğu, çünkü bu mümkündür.

Büyük sayılar kanunu

hukuk kanıtı Büyük yardımcı gibi olasılık teorisinin teoremleri, olacaktır:

• Chebyshev eşitsizliği.
• Chebyshev teoremi.
• Genelleştirilmiş Chebyshev teoremi.
• Markov teoremi.

Bütün bu teoremleri ele alırsak, o zaman mesele yaprak onlarca sürebilir. pratikte olasılık teorisinin uygulamadır - Biz temel görevi var. Biz şu anda size sunuyoruz ve bunu. Biz olasılık teorisinin aksiyomlar düşünmeden önce Ancak, sorunların çözümünde de anahtar ortaklarıdır.

aksiyomlar

imkansız olay hakkında konuşurken ilk, biz zaten gördük. Unutmayalım: imkansız bir olayın olasılığı sıfırdır. Örnek biz çok canlı ve unutulmaz verdi: kar bir hava sıcaklığı otuz santigrat derecede düştü.

aşağıdaki gibi ikinci: belli bir olay olasılığı birliği ile oluşur. P (B) = 1: Şimdi bu matematiksel dili yardımıyla yazılır nasıl gösterecektir.

Üçüncüsü: Rastgele olay meydana ya da değil, ama olasılık her zaman sıfırdan birine değişebilir. yaklaştıkça birlik, daha şansını etmektir; değeri sıfıra yakın olması halinde, olasılığı çok düşüktür. Biz matematiksel dille bunu yazmak: 0

Geçen dördüncü aksiyom düşünün, yani: İki olayların olasılığının toplamı onların olasılıkları toplamına eşittir. Matematiksel terimler Yazın: P (A + B) = P (A) + P (B).

Olasılık teorisinin aksiyomları - bu hatırlamak zor olmayacaktır basit kuraldır. zaten edinilen bilgiye dayalı bazı sorunları çözmek için çalışalım.

piyango bileti

Bir piyango - Birincisi, en basit örneği düşünün. Eğer iyi şans için bir piyango bileti satın düşünün. En az yirmi ruble kazanacak olasılığı nedir? Beş - Toplam sirkülasyon beş yüz ruble, 1000 ruble, yirmi ve elli ruble ve yüz bir ödül vardır ve bunlardan biri bin biletleri, katılır. olasılık teorisinin görevi şans için bir yol bulmak için nasıl dayanır. Şimdi hep birlikte Görevler görünümünün üst kararını analiz edin.

Biz beş yüz ruble bir ödül ile ifade ederse, o zaman A'nın olasılık 0,001 eşittir. Nasıl alabilirim? Sadece (: 1/1000 bu durumda) toplam sayısına bölünerek "şanslı" bilet numarası lazım.

Gelen - yüz rublelik bir kazanç, olasılık 0.01 eşit olacaktır. Şimdi son eylem olarak aynı şekilde hareket etmiş (10/1000)

C - ödeme yirmi ruble olduğunu. olasılık bul, bu 0.05 eşittir.

Onların para ödülü olarak biz ilgilenen değildir biletlerin geri kalanı durumda belirtilenden daha azdır. Dördüncü bir aksiyomu uygulanır: en az yirmi ruble kazanma olasılığı P (A) + P (B) + P (C). P harfi olayın kökeni olasılığını belirtir, önceki adımlarda biz zaten onları bulduk. O, biz 0.061 olsun tepkisini gerekli verileri bırakmaya sadece kalır. Bu sayı işlerin sorunun cevabı olacaktır.

Kartlarının güverte

olasılık teorisi üzerine Sorunlar, örneğin, bir sonraki işe girmek, ayrıca daha karmaşık vardır. otuz altı kartların size güverte önce. Göreviniz - yığını karışmadan, üst üste iki kart çizmek için, birinci ve ikinci kartlar as olmalı, takım elbise önemi yok.

İlk kartı as ise olasılık, dört ve otuz altı ile bu bölünmeyi bulmak, başlamak için. Bir kenara koyun. İkinci bir kart üç yüz otuz beşte olasılığı ile bir as olduğunu olsun. İkinci olayın olasılığı o bir as oldu ya da değil, biz ilgilenen, hangi kartın üzerinde ilkini çekti bağlıdır. Bu durumdan, olay olay A. bağlı olduğunu izler

simultane uygulanması olasılığını bulmak sonraki adım, yani şöyle Onların eseridir A ve B çarpın: Başka bir koşullu olasılık ile çarpılır tek olayın olasılığı, biz, yani ilk olayın meydana geldiğini varsayarak, hesaplamak, ilk kart biz bir as çekti.

Tüm açıktır olmak üzere, olarak tayin böyle eleman vermek koşullu olasılık olay. O bir oldu ki olay varsayarak hesaplanır. Bu, aşağıdaki gibi hesaplanır: P (B / A).

P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) ya da P (A _* B) = P _{(B), *} P (A / B): Biz soruna çözüm uzanır. .. _* 0.11 (0.09 / 0.11) = 0.11 _* 0,: olasılık _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) en yakın yüzde yuvarlanması suretiyle hesaplanır Biz ise 82 = 0.09. olasılık biz üst üste iki as çekmek dokuz yüzler basamağına eşittir. değeri çok küçüktür, bu olay meydana gelme olasılığı son derece düşük olduğunu izler.

unutulmuş oda

Biz olasılık teorisini inceleyen işlerin biraz daha fazla seçenek çıkarmak sunuyoruz. Bu makalede gördüğümüz olanlardan bazılarının çözümleri örnekleri aşağıdaki sorunu çözmeye: oğlan arkadaşı son basamağının telefon numarasını unuttu, ancak arama çok önemli olduğu için, daha sonra sırayla her pick up başladı. Biz o üç defadan fazla olmamak çağırır olasılığını hesaplamak gerekir. Sorunun basit çözüm, sen olasılık teorisi kuralları, kanunları ve belitleri biliyorsanız.

Eğer bir çözüm görmek önce, kendi başlarına çözmeye çalışın. Biz ikinci rakam on değerlerin toplam sıfırdan dokuza olabileceğini biliyoruz. Gerekli Olasılık puanı 1/10 olduğunu.

Sonraki biz olayların kökenini seçenekleri göz önünde bize oğlan doğru tahmin ve hakkını kazandı varsayalım gerekir, bu tür olayların olasılığı 1/10 eşittir. İkinci seçenek: İlk çağrı kayma ve ikinci hedef. 9/10 biz 1/10 olarak almak sonunda 1/9 ile çarpılır: Böyle olayların olasılığını hesaplayın. Üçüncü seçenek: istediği yerde birinci ve ikinci çağrı yanlış adres olduğu ortaya çıktı, sadece üçüncü bir çocuktu. Bu tür olaylar olasılığını hesaplayın: 9/10 8/9 ve 1/8 ile çarpılır, biz 1/10 bir sonucu olarak elde. Bize bu sonuçları bırakmaya biz ilgilenmiyoruz sorunun koşuluyla Diğer seçenekler, bu sonuçta bir 3/10 var olmaya devam etmektedir. Cevap: Bir erkek 0.3'e eşit üçten fazla kez çağırır olasılığı.

sayılarla Kartları

Senden önce birinden dokuz numara yazılır her biri dokuz kartları, sayılar tekrarlanamaz. Onlar bir kutuya koyup iyice karıştırın. Sen olasılığını hesaplamak gerekir

• bir çift sayı haddelenmiş;
• iki basamaklı bir.

O m şart kararına geçmeden önce - Başarılı vaka sayısı ve n - seçeneklerin toplam sayısıdır. Bize sayısı çift olasılığını bulalım. Dört bile sayıları hesaplamak zor olmuyor ve bizim m, dokuz olası seçenekleri, yani m = 9'dur. Daha sonra olasılık 0.44 ya da 4/9 ths eşittir.

İkinci durumda, dokuz varyantları sayısını düşünün ve başarılı bir sonuç hiç de olamaz olduğunu, m sıfırdır. uzatılmış kart, sıfır, bir, iki haneli bir sayı içerir olasılığı.