Öklid'in beşinci postülatı: üslup

10 000 yıl önce ilk insan uygarlığı vardı inanılmaktadır. Bilim adamlarına göre, yaklaşık 4.540.000 yaşındadır gezegenimizin, yaş ile karşılaştırıldığında, bu sadece kısa bir an. Bu "an" insanlık için gezegenlerarası uzay aracı için ilkel taş aletler çok büyük bir atılım yapmıştır. Bir deha doğmuş olmazdınız gezegende zaman zaman, bilim ileriye hareket ederse o, mümkün olmazdı. Bunlar arasında, elbette, Öklid ifade eder. Çalışmaları vakıf ve modern matematiğin gelişimi için güçlü bir itici güç haline geldi.

Bu makale Öklid ve tarihinin beşinci önermesiyle ilgili.

Nasıl geometriyi yaptım

Arazinin araziler kira konusu olduğundan, onların büyüklüğü ve satış ve teslimat alanı hesaplamaları dahil olmak üzere, ölçülebilir gerekiyor. Bundan başka, bu hesaplamalar büyük ölçekli yapıların inşasında gerekli hale, hem de farklı öğeleri hacminin ölçülmesi. Bütün bunlar Mısır ve Babil sanat incelemelerinde 3-4000 yıl önce önkoşul haline gelmiştir. Bu ampirik olmuştur ve spesifik problemleri çözme birkaç yüz örneklerinden bir koleksiyon herhangi bir kanıt olmadan vardır.

Eski Yunan'da gelişen geometri sistematik bilimi olarak. Gibi erken üçüncü yüzyılda olarak gerçekler ve kanıt yöntemleri büyük bir kaynağı oldu. Bununla birlikte, toplanan geometrik malzeme özetlemek için yeterince geniş bir problem ortaya çıkmıştır. O Hipokrat Fedii ve diğer antik Yunan filozofları çözmeye çalıştı. Ancak mantıksal olarak sadece yaklaşık 300 yıl MÖ vardı bilimsel sistemini doğrulanmadı. e. "Principia" yayınlanmasıyla.

Öklid kimdi

Antik Yunanistan büyük filozofların ve bilim adamlarının dünyada birçok verdi. Bunlardan biri matematik İskenderiye Okulu kurucusu oldu Öklid vardır. Bilim adamı Hakkında pratikte hiçbir şey bilinmektedir. Bazı kaynaklar daha sonra Atina'da Platon'un ünlü okulunda okudu ve modern bir geometri genç gelecekteki babası matematik ve optik yanı sıra beste müzik çalışmalarına devam etti Alexandria, iade göstermektedir. doğduğu şehrin yılında öğrencilerle birlikte, burada bir okul, kurulan ve en fazla iki bin yıldır düzlem geometri ve katı geometri üzerinde herhangi ders kitabı temelidir onun ünlü eseri yarattı.

Öklid "Elemanlar"

geometrisine, başlıca ve ilk sistematik çalışması 13 hacim oluşur. Katı geometri - ilk dört ve altıncı kitaplar düzlem geometrisi ve 11, 12 ve 13. başa. Diğer hacim gelince, onlar geometrik önkabullerinde açısından olan aritmetik için ayrılmış bulunmaktadır.

Matematiksel bilimler sonraki gelişiminde Öklid ana çalışmalarının rolü küçümsenemez. orijinalin birçok Extant papirüs listeleri yanı sıra Bizans kaynakları.

Orta çağlarda, Öklid "Elements" onlar insan düşüncesi en büyük eserlerinden ve Şam bilim adamının bir düşünün Araplar, öncelikle incelenmiştir. Çok sonra bu eserlerin Avrupalıları ilgilenen. artık sadece seçilmişlere bilinecek Öklid geometrisi dahil, bilim baskı gelişiyle birlikte. 1533 "Elements" in ilk baskısının ardından dünyayı anlamak isteyen herkese mevcuttur ve her yıl daha vardır. Talebin arzı yarattı, yüzden bu işi ikinci en yaygın İncil'den sonra antik anıtları arasında okunan olduğuna inanılmaktadır.

bazı özellikler

"Elemanlar" genellikle Öklid denir, üç boyutlu boş sınırsız ve izotropik alanı, metrik özelliklerini açıklar. Galileo ve Newton'un klasik fizik fenomenler vardır bir arenaya olarak kabul edilir.

Temel geometrik amacı, Öklid göre, bir yer. İkinci önemli bir kavramdır - ilk üç önermeleri ile karakterize edilir alan sonsuz. Dördüncü dik açı eşitliğini ilgilidir. Öklid beşinci önerme ile ilgili olarak, daha sonra özellikleri ve Öklid alan geometrisini belirler.

Bilim adamlarına göre, klasik geometri baba biçimi nedeniyle yaptığı sunum malzemesi herhangi bir yanlış anlama dışlamak çalışma olan mükemmel bir ders kitabı yarattı. Özel olarak, "Elementlerin" her birim, ilk kez karşılaşılan kavramların tanımı ile başlar. Özellikle, 1 kitabın ilk sayfalarından okuyucu bir nokta, çizgi, düz ve böyle devam eder. Toplamda bu temel çalışmaları sunulan malzemenin ana hükümlerinin anlaşılması için gerekli bir 23 tanımları sahip olduğunu öğrenir.

4, birinci aksiyomu ve Öklid önerme

"Elements" bir yazar sonra kanıt olmadan kabul edilen sonuçları sunar. Bunlar o önermeler ve önermeleri ayrılır. Birinci grup adam sezgisel bilinen 11 tabloların oluşur. Örneğin, bütün 8. aksiyomu kısmından daha büyüktür ve birbirine eşit üç ayrı eşit ilk iki miktarlarda, uygun olduğu.

Bundan başka, 5 Öklid varsayar neden olur. aşağıdaki gibi ilk dört okuyun:

• Başka herhangi bir noktadan, bir düz çizgi çizebilirsiniz;
• Her yarıçapın bir merkezi bir çevre tarif etmek mümkündür;
• düz bir çizgi sürekli uzanabilir sınırlı hattı;
• tamam açıları eşittir.

Öklid'in beşinci postülatı

iki bin için, bu açıklama defalarca matematikçi ilgi nesnesi haline geldi. Ama önce Öklid'in beşinci postülanın içeriği hakkında bilgi almak. Bu nedenle, modern bir formülasyon içinde er devam eden ya da daha sonra bu tarafta karşılamak süre az 180 ° iç açıları, daha sonra, bu çizgilerin iki düz tek taraflı üçüncü toplamı kesiştiği yerde bir düzlemde gibi sesler daha kısa bir sürede 180 °, bu miktar (miktarı).

Farklı kaynaklarda ifadeler olduğunu Öklid'in beşinci postulat, başlangıç sporu neden ve bir ses kanıtı oluşturarak teoremleri kategorisine çevirmek istiyorum farklıdır. Bu arada, genellikle gerçekte, lanetli ve Playfair aksiyomunun olarak bilinen icat, bir başka ifade ile değiştirilir. Aşağıdaki gibi okur: Bir uçakta Buna sadece ve sadece bir düz çizgi paralel tutabilir belirli bir çizgiye ait olmayan bir noktadan.

dil

Daha önce bahsedildiği gibi, birçok bilim adamı Öklid 5 postülanın fikrini ifade farklı çalıştık. Birçok formülasyonlar oldukça açıktır. Örneğin:

• yakınsak kesiştiği;
• en az bir dikdörtgen olduğu, dört dik açılar ile 4-kare, vardır;
• her bir şekil orantılı arttırılabilir;
• herhangi keyfi geniş bir alana sahip bir üçgen var.

eksiklikler

Öklid geometrisinin antik büyük matematik eserleri oldu ve 19. yüzyıla kadar, bu matematik rakipsiz saltanat sürüyordu. Buna rağmen, eksikliklerini ortaya bile sonradan biraz yaşamış yazarın çağdaşlarının ve antik Yunan bilgini tarafından gündeme gelmiştir. Özellikle, onun adını yeni Arşimet aksiyomu, eklemiştir. O n bir tamsayı n olduğunu söylüyor · [AB]> tüm segmentler AB ve CD için [CD].

Buna ek olarak, bilim adamları Öklid önermeler ve postulaların sistemini en aza indirmek için çalışmışlardır. Bunu yapmak için, onlar diğerlerinden bazıları çıkardı.

Yani dik açı eşitliği 4 postülanın "kurtulmak" başardı. Onun için, titiz bir kanıtı bulundu, bu yüzden teoremleri kategorisine taşındı.

Antik Tarih 5 postulat ve erken Orta Çağ

Bu açıklama Öklid geometrisinin klasik formülasyonu çok daha az belirgin diğer dörtten görünüyor. Bu gerçeğin perili matematikçiler olduğunu.

Beşinci Öklid önerme için engel belirten iki çizgi a ve b'nin paralellik tanımı olduğu 180 dereceye eşit olan bir kesişmesi tarafından oluşturulan ve bir üçüncü düz çizgi c b iki tek taraflı açılarının toplamı.

Bir teoremi antik Yunan geometri Posidonius tarafından yapıldı olarak ilk girişim bunu kanıtlamak için. O orijinalinden eşit uzaklıkta olan tüm noktaların kümesinin düzlemine doğrudan bir paralellik dikkate önerdi. Ancak yine de bu Posidonius kanıt 5 önerme bulmak izin vermedi.

Ne boşuna ve Arapları b Korra ve Khayyam ortaçağ diğer matematikçilerle, girişimlerine. elde edilmiştir tek şey - Çeşitli varsayımlara dayalı ispat edilebilir yeni önkabullerinde çıkması.

18-19-inci yüzyıllarda

Klasik geometri matematik ve 18. yüzyılda ilgi olmaya devam etti. Özellikle, dayanıklı paralel konutlamasına yeterince yakın Fransız matematikçi A. Legendre gelebilir. Rus İmparatorluğu okullarda matematik öğretimi temel yaklaşık 150 yıl olan olağanüstü bir ders kitabı "geometrinin Öğeleri" yazdı. İçinde bilim adamı üç seçenek Öklid paralel aksiyom kanıtlamak verdi ama hepsi yanlış olduğu ortaya çıktı.

19. yüzyılın başlarında olarak, bir Öklid dışı geometri yaratma fikri. Sistemin ilk açıklama beşinci postülanın bağımsız bir askeri mühendis J. Bolyai açtı. Ama onun keşif korktum ve yanlış inancıyla fikri takip etmedi. Başarı elde etmek mümkün ve büyük Alman matematikçi Gauss olmamıştır.

buluş

Öklid'in beşinci postülanın 2000'den fazla yıl için, kanıt olan, bilim adamlarının yüzlerce bulmaya çalıştı matematik numaralı sorunu kalmıştır. Etkileme Rus matematikçi NI Lobachevsky yaptı. Ona göre dünyanın ilk Öklid geometrisi sadece kendi sisteminin özel durumda "çalıştığını" olduğunu kanıtlayan gerçek uzayın özelliklerini tanımlamak başardı.

N. I. Lobaçevski başlangıçta meslektaşları ile aynı yolu aşağı indi. 5 postülatı kanıtlamaya çalışıyor, o başarılı olmamıştır. Daha sonra bir bilim adamı göre Öklid temsil reddeden bir üçgen toplamı açıları 180 derece buna eşittir. Daha sonra, o çelişki bu iddiayı kanıtlamaya çalıştı ve beşinci postüla için yeni ifadeler var. Şimdi, o buna paralel birkaç çizgilerin varlığını kabul ve bu hat dışında yatan bir noktadan geçerek.

yeni geometri

Bu matematik için daha yaptı kim tartışmak için hiçbir mantıklı. oluşumu ve gelişimi Newton ve Einstein'ın fizik Öklid ve Lobaçevski karşılaştırılabilir etki rolü. Aynı zamanda, yeni, mutlak geometri, klasik yöntemle kopan, uzay kavramını kabul etmek mümkündür "Sadece ne ölçülebilir anlayabiliriz." Ama böyle bir yaklaşım binlerce yıldır bilimde uygulanan.

Ne yazık ki, Lobachevskii geometri fikirleri kabul ve çağdaşlarının anlaşılamamıştır. Özellikle, öğrencileri bilim adamının çalışmalarına devam edilmediği, ve Öklid dışı geometrinin gelişmesi onlarca yıl boyunca ertelendi.

Lobachevskii teorisinin bazı özellikleri

Yeni geometri anlamak için kozmik sonsuzluk dikkate alınması gerekmektedir. Gerçekten de, evrenin çokluk doğrusal boşlukların toplamı olduğu tahmin etmek zordur.

Lobaçevski geometri gökada çekim alanları tarafından oluşturulur kavisli alanları tanımlamak için kullanılır. O kadar tüm rakamlar dikkat yönteminden yola izin silindir, daire, piramit veya bu şekillerin herhangi bir kombinasyonu "doğru yaklaşık". Örneğin, gerçekte, gezegenimizin - yani hiçbir top, ve geoit, Dünya'nın litosfer (sert kabuğun) dış siluetini dış hatları ile elde edilen bir figür ...

Gerçek hayatta aynı noktadan geçen birçok paralel varlığına ihtimal tanıtmak sağlar evrenin, eğimli alanların analogları da vardır. Özellikle, İtalyan geometer Beltrami tahsis ve E. adlı üç türde bu kavisli yüzey südoküre.

Lobachevsky teorisinin daha da geliştirilmesi

Üstün Rus Öklid geometrisinin mutlaklığını sözde değil tek değildi. Özellikle, 1854 matematikçi Riemann sıfır, pozitif ve negatif eğrilik boşlukların varlığı ihtimali fikrini ortaya koydu. Bu, farklı olmayan klasik geometrilerin sonsuz sayıda oluşturabilir anlamına geliyordu.

Pozitif eğrilik ile esas alan eğitim gördü Riemann pozisyon, günü, Öklid 5 postülası hiç beklenmedik geliyor. fikirlerine göre, belirli bir hat dışında bir noktaya aracılığıyla bu kadar herhangi bir satır paralel tutamaz.

Oldukça farklı sıfır boşluk, Klein teorisi negatif ve pozitif bir eğrilik ile durumdur. Lobachevskian fikirler uymak ve üçüncü - - Riemann tarafından tarif edilenler ile tutarlı Özellikle, ilk durumda bir parabolik geometri, klasik ikinci bir özel bir durum ile tarif edilir.

ağırlık, güç, hız ve zaman - Görelilik Alberta Eynshteyna Teorisi yayınlanmasının ardından, bu tür alanların sunulması dikkate dört birbirine bağlı ve değişen ölçümlerin varlığını almak verileri tamamlar.

uygulamada

Eğer 180 derece klasik marka bir saniyenin sadece 4/1000000 iç açılarının toplamının olası sapma dev mümkün olan en büyük üçgenin için Dünya yörüngesine içindeki boşluğun insan algısı giderseniz. Bu değer homo sapiens kapasitesinin dışındadır, bu nedenle "dünyevi" talep Öklid geometrisi olduğunu.

Bu koşullar galakside N. Lobachevsky ve Riemann'ın teorisini doğrulamak veya çürütmek için deneysel verileri elde etmesini sağlar o oluşturulur kadar beklemek kalır.

Artık o Öklid'in beşinci önerme ve çok öğreticidir ve son 2300 yılda insan zihninin evrimini izlemek için bizi tanır tarihini, beyan biliyorum.