Fourier serileri: bilimin gelişmesi için tarih ve matematiksel mekanizmasının etkisi

Fourier serileri - bu görünüm keyfi üst üste dönemine fonksiyonları seçilmiş. Genel olarak, bu solüsyon bir ortogonal olarak genişleme elemanı olarak adlandırılır. Fourier serisinde fonksiyonların genişlemesi çeşitli entegrasyon, farklılaşma dönüşümün özellikleri nedeniyle bir sorun, aynı zamanda bağımsız değişken ifade ve kıvrım bir kayma çözmek için oldukça güçlü bir araçtır.

Daha yüksek matematik aşina yanı sıra Fransız bilim adamı Fourier eserleri ile ilgili olmayan bir kişi, büyük olasılıkla neyi "safları" ve ne yaptıklarını anlayamazlar. Ancak bu dönüşüm oldukça sıkıca hayatımıza girilir. Sadece matematik değil, aynı zamanda fizikçi, kimyagerler, doktorlar, astronomlar, Deprembilimciler, bilimcileri ve diğerleri değil kullanılmaktadır. Bize de ilerideki, keşifte büyük Fransız bilim adamının eserleri ile daha yakından bakalım.

Adam ve Fourier Dönüşümü

Fourier serisi (analizi ve diğerleri ile birlikte) yöntemlerden biri Fourier transformunun. Bu süreç yerde bir kişi herhangi bir ses duyduğunda her zaman alır. Bizim kulak otomatik dönüştürür ses dalgası. elastik bir ortam içinde temel parçacık salınım hareketi, farklı yüksekliklerde tonları için seri (spektrumu) birbirini takip eden hacim değerleri genişletilir. Daha sonra, beyin bizim için tanıdık sesler içine bu verileri dönüştürür. Bütün bunlar bizim arzu veya bilinç kendisine ek olarak, ancak daha yüksek matematik çalışmak için birkaç yıl sürebilir süreçleri anlamak için.

Fourier dönüşümü hakkında daha fazlasını okuyun

Fourier rakamlar ve diğer yöntemler, analitik gerçekleştirilebilir dönüşümü. güneş döngüleri (ve diğer astronomik nesneler) etkinliğe ışık okyanus gelgit ve dalgalardan - Fourier dizisi bir titreşimli işlemleri ayrıştırılması için numarası bir süreçtir. Bu matematiksel teknikleri kullanarak, ya da tam tersi maksimum minimum gidip sinusoidal bileşenlerin bir dizi herhangi bir salınım işlemleri temsil eden işlev sökmeye mümkündür. Fourier dönüşümü belirli bir frekansa karşılık gelen sinüzoidler fazını ve büyüklüğünü tanımlayan bir fonksiyonudur. Bu işlem, ısı, ışık veya elektrik enerjisinin etkisi altında meydana gelen dinamik işlemleri tarif çok karmaşık denklemleri çözmek için kullanılabilir. Ayrıca, Fourier serileri doğru ilaç, kimya ve astronomi deneysel gözlemlerini yorumlamak mümkün kılar, kompleks dalga DC bileşenleri ayırt etmek için kullanılan.

tarihsel bilgiler

Bu teorinin kurucusu Fransız matematikçi Zhan Batist Zhozef Fure olduğunu. Onun adı daha sonra ve bu dönüşümün adı olmuştur. katı ısı yayılımını - İlk olarak, bilim adamları, çalışma ve ısı iletkenlik mekanizmalarının açıklanması için bir teknik kullanılır. Fourier termal dalgasının ilk düzensiz dağılımı sıcaklığının minimum ve maksimum, yanı sıra faza sahip, her biri basit bir sinüzoit, ayrılacak olabilir önerdi. Bu nedenle bu tür her bir bileşen, fazla ya da tam tersi minimumdan ölçülecek. Fourier adı eğri üst ve alt tepe noktaları tanımlayan matematiksel fonksiyonu olarak, her bir harmonik faz, ifade sıcaklık dağılımının dönüşümü. Matematiksel açıklama zor azaltılmış toplam dağılım fonksiyonu teorisi yazar, çok kolay bir bir şekilde işlemek üzere periyodik fonksiyonları başlangıç dağılımı veren bir miktarda, sinüs ve kosinüs.

dönüşüm ilkesi ve çağdaşlarının görüşleri

bilim adamının Çağdaşları - erken on dokuzuncu yüzyılın önde gelen matematikçiler - bu teoriyi kabul etmedi. ana itiraz sürekli olan sinüzoidal ifadeleri bir toplamı olarak temsil edilebilir, düz bir çizgi veya eğri tarif süreksiz fonksiyonu yırtılır Fourier onaylanmış olmasıdır. Bir örnek olarak, bir "adım" Heaviside düşünün: değeri boşluğu solundaki sıfır ve sağda biridir. Bu işlev kapatma zinciri için zaman değişkeni elektrik akımının bağımlılığını anlatır. Çağdaş teori o zaman, bir süreksiz ifade böyle üstel, sinüs, doğrusal veya ikinci dereceden olarak sürekli, ortak fonksiyonların, kombinasyonuyla tanımlanabilir böyle bir durumla karşılaştı hiç.

Fourier teoride Fransız matematikçiler ne rahatsız?

Bir matematikçi tartışmak doğru olsaydı Sonuçta, o zaman, sonsuz trigonometrik Fourier serilerini toplayarak, buna benzer bir dizi adım olsa bile, ifade adımının doğru bir temsilini elde etmek mümkündür. On dokuzuncu yüzyılın başlarında, bu açıklama saçma görünüyordu. Ama bütün şüphelere rağmen, birçok matematikçiler termal iletim çalışmaları ötesine taşıyarak, bu fenomenin çalışmanın kapsamını genişlettik. Ancak, çoğu bilim adamı soruyu acı devam etti: "? Can sinüs dalga serisinin toplamı bir süreksiz fonksiyonun tam değerine yakınsar"

Fourier serilerinin Yakınsama: örneği

Yakınsama Sorun, sayıların sonsuz serilerin toplamı gerekir her zaman yükselir. Bu fenomenin anlaşılması için klasik bir örneği düşünün. Her adım yarım önceki ise Hiç duvarı ulaşabiliyor musunuz? Eğer amaç iki metre varsayalım, yakın yarım şekilde etrafına ilk adım, bir sonraki - Bir dörtte üçü işareti ve beşinci sonra, bu arada neredeyse 97 oranında üstesinden gelecektir. Ancak, ne olursa olsun yaptık kaç adım ne, sıkı bir matematiksel anlamda ulaşmak amaçlanan hedef. Sayısal hesaplamalar kullanarak, bir keyfi küçük verilen mesafeye yakın olabilir sonunda ispatlayabilirim. Bu böyle devam yarısı, dörtte biri ve toplam değeri. E. birlik eğilimi Will gösteren bir kanıt eşdeğerdir.

Lord Kelvin ikinci gelişi veya enstrüman: yakınlaşma sorunu

Fourier serileri Gelgitlere yoğunluğunu tahmin etmek kullanmaya çalıştık zaman tekrar tekrar soru, on dokuzuncu yüzyılın ortaya çıktı. O zaman, Lord Kelvin cihaz denizci deniz ve deniz ticaret monitör doğal bir olgudur izin analog bilgisayar icat edilmiştir. fazlar ve gel-git ve karşılık gelen zaman anları Tablo yüksekliğinin genliklerinin Bu mekanizma tarif grubu, dikkatli bir şekilde, yıl boyunca liman ölçülmüştür. Her parametre, sinüzoidal bileşenin ekspresyon gelgit yükseklikleri ve düzenli bileşenlerden biridir. Ölçüm sonuçları aşağıdaki yıllık bir fonksiyonu olarak suyun yüksekliğini tahmin eğrisi sentezlenmesi, bilgisayar cihazına Lord Kelvin girilir. Çok yakında, bu eğriler dünyanın tüm limanlarında için çizildi.

Ve süreç süreksiz fonksiyon bozulur olur?

O zaman, o hesabın birçok unsurları ile bir gelgit dalgası, tahmin cihaz fazları ve genliklerinin çok sayıda hesaplamak ve böylece daha doğru bir tahmin sağlayabilir aşikardır. Bununla birlikte, bu desen sentez edilecektir gelgit ifadesi yani süreksiz olan keskin bir sıçrama içeriyordu durumlarda gözlenen olmadığını ortaya çıktı. Cihaz zaman noktalarında bir tablodan veri girmek durumunda, bu birkaç Fourier katsayıları hesaplar. nedeniyle (bulunan katsayıları uygun olarak) sinüzoidal bileşenin orijinal fonksiyonunu geri kazanılması. orijinal ve yeniden ekspresyonu arasındaki fark, herhangi bir noktada ölçülebilmektedir. Tekrar hesaplamaları ve karşılaştırmalar görülebilir zaman büyük hatasının değeri azalmayacak. Bununla birlikte, kırılma noktasına kadar gelen bölgede lokalize edilir ve herhangi bir başka nokta sıfır eğilimindedir. 1899 yılında bu sonuç Yale Üniversitesi'nden teorik Joshua Willard Gibbs doğrulandı.

Fourier serilerinin Yakınsama ve bir bütün olarak matematik gelişimi

Fourier analizi belli aralıklarla patlamaları sonsuz sayıda içeren ifadeler için geçerli değildir. Orijinal fonksiyon gerçek fiziksel ölçümlerin sonucu ile temsil edilir ise genel Fourier serisinde, her zaman yakınsama. fonksiyonların belirli sınıflar için bu sürecin yakınlaşma Sorular böyle genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisi olarak matematiğin yeni dallar, yol açmıştır. Bu tür, Schwartz, J .. Mikusiński ve J. Temple gibi isimler ile ilişkilidir. Bu teoriye göre, böyle bir ifade için bir açık ve kesin bir teorik temel Dirac delta fonksiyonunun (noktanın derece küçük bir bölgesinde konsantre edildi, tek alan bölgesini tarif) ve "adım" Heaviside olarak kurulmuştur. nokta yük, nokta kütle, manyetik dipoller ve kiriş üzerinde konsantre yük: Bu çalışma sayesinde Fourier serileri sezgisel kavramları içeren denklemler ve problemleri çözme uygulanmaya başlanmıştır.

Fourier yöntemi

Fourier serileri, parazit ilkelerine uygun olarak, daha basit içine karmaşık formların ayrışma ile başlar. Örneğin bu toprak yüzeyi düzensiz şekilli yalıtım malzemesi veya değişen ısı çeşitli engellerle boyunca geçişi için ısı akışında bir değişiklik - bir deprem, gök gövdenin yörüngede bir değişiklik - gezegen etkisi. Tipik olarak, basit klasik bir sistem En temel tarif bu denklemler her dalga boyu için çözüldü. Fourier basit çözümler daha karmaşık görevler için olduğu gibi özetlenebilir göstermiştir. matematik dilinde, Fourier serileri - kosinüs ve sinüs dalgaları - harmonik ifadesi toplamı sunulması için bir metodoloji. Bu nedenle, bu analiz de adı "harmonik analiz" başlığı altında bilinmektedir.

Fourier serileri - "bilgisayar çağında" için ideal bir yöntem

bilgisayar teknolojisi Fourier yönteminin oluşturulması öncesinde dünyamızın dalga doğası ile çalışan bilim adamları cephanelik iyi silahtır. Karmaşık şeklinde Fourier serisi mekaniğinin Newton'un yasalarının uygulanmasını yönlendirmek için müsait olan basit problemleri, aynı zamanda temel denklemleri çözmek için sadece izin verir. On dokuzuncu yüzyılın Newton bilimin keşifleri çoğu yalnızca nedeniyle Fourier yöntemine mümkün hale geldi.

Fourier serileri bugün

Fourier gelişmesiyle birlikte bilgisayarlar yeni bir düzeye yükseldi dönüşümü. Bu teknik sıkıca bilim ve teknoloji hemen her alanda iyice yerleşmiştir. Bir örnek, bir dijital ses ve video gibi. Onun uygulanması erken on dokuzuncu yüzyılın Fransız matematikçi tarafından geliştirilen teoriye olası tek teşekkür yapılmıştır. Böylece, kompleks formda Fourier serileri uzaydan çalışmalarında bir atılım yapmak için izin verdi. Buna ek olarak, bu yarı iletken malzeme ve plazma, mikrodalga akustik, oşinografinin, radar, sismolojinin fizik çalışma etkilemiştir.

Trigonometrik Fourier serileri

matematik olarak, bir Fourier serisi basit bir toplamı olarak isteğe bağlı karmaşık fonksiyonları temsil eden bir yöntemdir. Genel durumlarda, ifadelerin sayısı sonsuz olabilir. hesaplamasında dikkate daha fazla sayıda, daha doğru bir nihai sonuç elde edilir. Basit trigonometrik kosinüs veya sinüs fonksiyonunun en yaygın kullanımı. Bu durumda, Fourier serileri trigonometrik denir ve bu tür ifadelerin kararı - harmonik bozulma. Bu yöntem matematikte önemli bir rol oynar. Her şeyden önce, trigonometrik seri görüntü için bir araç, hem de fonksiyonlarının çalışmasını sağlar, bu teorinin ana birimidir. Buna ek olarak, matematiksel fizik bir takım sorunlar çözmek için bize izin verir. Son olarak, bu teori gelişimine katkıda bulunduğunu matematiksel analiz, matematiksel bilim (integral teorisi, periyodik fonksiyonlar teorisi) çok önemli dallarından bir dizi yol açtı. Buna ek olarak, aşağıdaki gelişmesi için bir başlangıç noktası teorileri: setleri, gerçek değişken fonksiyonları fonksiyonel analiz, aynı zamanda ve harmonik analiz için temel atılmıştır.