Çapraz eşkenar yamuk. yamuk orta hat nedir. yamuk çeşitleri. Trapez - bu ..

Trapezoid, bir çift kenarın paralel olduğu dörtlü bir özel durumdur. "Trapez" terimi, "tablo", "tablo" anlamına gelen Yunanca τράπεζα kelimesinden gelir. Bu yazıda, trapezi türleri ve özellikleri incelenecektir. Buna ek olarak, bu geometrik şeklin tek tek unsurlarını nasıl hesaplayacağımızı öğreneceğiz . Örneğin, eşkenar trapezin, orta çizginin, alanın vb. Köşegenleri. Malzeme temel popüler geometri tarzında, yani kolayca erişilebilir bir biçimde açıklanmaktadır.

Genel bilgi

Önce, dörtlü bir kenarlığın ne olduğunu görelim. Bu şekil, dört kenar ve dört köşe içeren bir çokgen özel bir halidir. Bitişik olmayan bir dörtgenin iki köşesi ters zon olarak adlandırılır. Bitişik olmayan iki taraf hakkında da aynı şey söylenebilir. Dörtlüklerin ana türleri bir paralelkenar, bir dikdörtgen, bir eşkenar dörtgen, bir kare, bir yamuk ve deloiddir.

Yani, yamaca dönün. Daha önce de söylediğimiz gibi, bu figür paralel olan iki yüzü vardır. Bunlara bazlar denir. Diğer ikisi (paralel olmayan) kenarlar. Muayene materyalleri ve çeşitli testlerde, genellikle öğrencinin program tarafından sağlanmayan bir bilgiye sahip olmasını gerektiren, yamuk trapezleri ile ilgili problemleri karşılamak çoğunlukla mümkündür. Okul geometrisi, öğrencilere açıların ve köşegenlerin özelliklerini ve ikizkenar trapezin orta çizgisini tanıtmaktadır. Ancak sonuçta, bahsedilen geometrik şekil diğer özelliklere sahiptir. Fakat onlarla ilgili daha sonra ...

Trapezoid türleri

Bu figürün birçok çeşidi var. Bununla birlikte, ikisi genellikle ikizkenik ve dikdörtgen olarak kabul edilir.

Dikdörtgen yamuk şekli, yanal kenarlardan birinin tabanlara dik olduğu bir şekildir. İki açısı daima doksan dereceye eşittir.

2. Bir iki köşeli yamuk şekli, yanları birbirine eşit geometrik bir figür. Bu, bazların açılarının çiftler halinde de eşit olduğu anlamına gelir.

Trapez özelliklerini inceleme tekniğinin ana ilkeleri

Ana prensip sözde problem yaklaşımının kullanılmasıdır. Aslında bu figürün yeni özelliklerini teorik geometri dersine dahil etmeye gerek yoktur. Çeşitli problemleri çözme sürecinde açılabilir ve formüle edilebilirler (daha iyi sistem olanları). Aynı zamanda öğretmenin, eğitim sürecinin bir veya bir anında hangi okul görevlerinin okul öncesi yapılması gerektiğini bildiği çok önemlidir. Dahası, her trapez mülkü görevler sisteminde önemli bir görev olarak gösterilebilir.

İkinci prensip, "dikkat çekici" trapezon özelliklerini incelemek için sözde spiral örgüttür. Bu, verilen geometrik şeklin bireysel özelliklerine öğrenme sürecinde bir dönüş anlamına gelir. Böylece, öğrencilerin hatırlanması daha kolaydır. Örneğin, dört puan malı. Hem benzerlik çalışmasında hem de daha sonra vektörlerin yardımıyla ispatlanabilir. Ve şeklin yanlarına bitişik üçgenlerin eşitliği, sadece bir çizgi üzerinde uzanan yanlara çizilen eşit yükseklikleri olan üçgenlerin özelliklerini değil aynı zamanda S = 1/2 (ab * sinα) formülünü kullanarak da kanıtlanabilmektedir. Buna ek olarak, yazılmış bir yamuk veya tarif edilen trapez üzerinde bir dik üçgenle sinüs teoremini hesaplayabilir vb.

Okul ders içeriğinde geometrik şeklin "programsız" özelliklerinin uygulanması öğretimleri için ihtiyatlı bir teknolojidir. Diğer konuların geçişi sırasında incelenen mülklere sürekli itiraz, öğrencilerin yamukluğunu daha iyi anlamasına ve görevlerin çözümünün başarılmasını sağlar. Öyleyse, olağanüstü şekli incelemeye başlayalım.

İkizkenar yamuk trapezoidinin elemanları ve özellikleri

Daha önce de belirttiğimiz gibi, bu geometrik şekildeki yanlar eşittir. O da doğru yamuk gibi bilinir. Ve neden bu kadar dikkat çekici ve neden böyle bir isim aldınız? Bu figürün karakteristiği, sadece bazların yanları ve köşeleri eşit değil, çaprazlar. Ek olarak, bir iki köşeli yamuğun açılarının toplamı 360 derecedir. Fakat hepsi bu kadar değil! Bilinen tüm trapezoidlerden sadece bir izosel etrafında bir daire tanımlanabilir. Bunun nedeni, bu rakamın karşıt açılar toplamının 180 derece olmasına bağlıdır, ancak bu durumda yalnızca bir dörtlü etrafında bir daire tanımlamak mümkündür. Söz konusu geometrik şeklin bir sonraki özelliği, tabanın üstünden zıt köşenin izdüşümüne olan mesafenin, bu tabanı içeren çizgiye olan mesafenin orta hatta eşit olmasıdır.

Şimdi ikizkenar yamuğun açılarını nasıl bulacağımızı bulalım. Şeklin iki yanının boyutlarının bilinmesi koşuluyla, bu sorunun çözümünü düşünelim.

Çözüm

Genellikle bir dörtgen, BS ve AD bazları olan A, B, C, D harfleri ile belirtilir. İkizkolda trapez olarak iki taraf eşittir. Boyutlarının X'e eşit olduğunu ve bazların boyutlarının Y ve Z'ye (sırasıyla, daha küçük ve büyük) eşit olduğunu varsayacağız. Hesaplamayı gerçekleştirmek için, B yüksekliğinden H. yüksekliğini çizmek gerekir. Sonuç olarak dikdörtgen üçgen ABN'dir, burada AB hipotenüs, BN ve AN bacaklardır. AN'ın büyüklüğünü hesaplarız: daha büyük tabandan küçük olanı çıkarırız ve sonucu 2 ile böleriz. Formül olarak yazarız: (ZY) / 2 = F. Şimdi, üçgenin akut açısını hesaplamak için cos fonksiyonunu kullanırız. Aşağıdaki gösterimi elde ederiz: cos (β) = X / F. Şimdi açıyı hesapla: β = arcos (X / F). Ayrıca, bir köşeyi bilerek ikinciyi tanımlayabiliriz, bunun için temel aritmetik eylem yapıyoruz: 180 - β. Tüm açılar tanımlanmıştır.

Bu sorunun ikinci bir çözümü de var. Başlangıçta, yükseklik H'yi B açısından düşürürüz. BN katsayısının değerini hesaplarız. Sağ üçgenin hipotenüsünün karesinin bacaklardaki karelerin toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Alınırız: BN = √ (X2-F2). Sonra tg trigonometrik fonksiyonunu kullanırız. Sonuç olarak: β = arctg (BN / F). Akut açı bulundu. Ardından, ufak açıyı birinci yöntemle benzer şekilde tanımlıyoruz.

İkizkenar yamuk trapezinin köşegenlerin özelliği

Önce, dört kural yazarız. İkizkenar yamuk trapezindeki çaprazlar dikey ise:

- rakamın yüksekliği, ikiye bölünen bazların toplamına eşit olacaktır;

- yüksekliği ve orta çizgisi eşittir;

- yamuğun alanı , yüksekliğin karesine eşit olacaktır (orta çizgi, tabanların toplamının yarısı);

- diyagonalin karesi, bazların toplamının yarısına veya orta hattın iki katına (yüksekliğe) eşittir.

Şimdi eşkenar trapezin diyagonalini belirleyen formülleri düşünüyoruz. Bu bilgi bloğu dört kısma ayrılabilir:

1. Yan çapraz diyagonal uzunluğu için formülü.

A'nın alt taban, B'nin üst, C'nin eşit yanları ve D'nin çapraz olduğunu varsayalım. Bu durumda, uzunluk aşağıdaki şekilde belirlenebilir:

D = √ (C2 + A * B).

2. Kosinüs teoremi ile diyagonal uzunluğu için formül.

A'nın alt taban, B'nin üst, B'nin üst taraf, D'nin köşegen, α (taban tabanında) ve β (üst tabanda) trapezoidin köşeleridir. Köşegen uzunluğunu hesaplayabilmemiz için aşağıdaki formülleri elde ederiz:

- Д = √ (А2 + С2-2A * С * cosα);

- Д = √ (А2 + С2-2A * С * cosβ);

- Д = √ (В2 + С2-2В * С * cosβ);

- Д = √ (В2 + С2-2В * С * cosα).

3. İkizkenar yamuk trapezinin diyagonal uzunluğu formülü.

A'nın alt taban, B'nin üst, D'nin köşegen, M'nin orta çizgi, H'nin yüksekliği, P'nin trapez alanı ve α ve β'nın çaprazlar arasındaki açıları varsayalım. Aşağıdaki formüllerin uzunluğunu belirleyin:

- D = √ (M2 + H2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2P / sinα) = √ (2M * H / sinα).

Bu durumda eşitlik: sinα = sinβ.

Yan ve yükseklikten diyagonal uzunluk formülleri.

A'nın alt taban, B'nin üst, C'nin kenar, D'nin diyagonal, H'nin yüksekliği ve α taban tabanı ile olan açı olduğunu varsayalım.

Aşağıdaki formüllerin uzunluğunu belirleyin:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- Д = √ (Н2 + (В + Р * ctgα) 2);

- Д = √ (А2 + С2-2А * √ (С2-Н2)).

Dikdörtgen bir yamaca ait elemanlar ve özellikler

Bu geometrik figür hakkında ilginç olanı görelim. Daha önce de söylediğimiz gibi, dikdörtgen bir yamuğun iki dik açısı vardır.

Klasik tanıma ilaveten, başkaları da vardır. Örneğin, dikdörtgen bir yamuk bir yandan tabanlara dik olan bir yamuk biçimindedir. Ya da yan tarafta dik açı olan bir şekil. Bu trapez tipinde, yükseklik tabana dikey olan yanal kenara eşittir. Orta hat, iki tarafın ortasını birbirine bağlayan bölümdür. Sözü edilen unsurun özelliği, tabana paralel olması ve toplamının yarısına eşit olmasıdır.

Şimdi bu geometrik şekli tanımlayan temel formüllere bakalım. Bunun için A ve B'nin bazlar olduğunu varsayalım; Dikdörtgen yamuğun C (tabanlarına dik) ve D - kenarı, M - orta çizgi, α - keskin açı, P - alanı.

1. Bazlara dikey olan yanal yan cisim yüksekliğine eşittir (C = H) ve daha büyük bir taban (C = D * sinα) için ikinci yanın D uzunluğu ve açının sinüs çarpımına eşittir. Buna ek olarak, akut açı α'nın tanjantının çarpımı ve bazlar arasındaki farka eşittir: C = (A-B) * tgα.

2. D (bazlara dik olmayan), A ve B özel farklarına ve akut açının kosinüsüne (α) veya şekil H'nin kısmi yüksekliğine ve akut açının sinüsüne eşittir: D = (A-B) / cosα = C / sinα.

3. Tabanlara dik olan taraf, D-ikinci tarafın karesi ile tabandaki farkın karesi arasındaki farkın karekök köküne eşittir:

C = √ (A2- (A-B) 2).

4. Dikdörtgen bir yamuğun D kenarı, yan C'nin kare toplamının kareköküne ve geometrik şeklin tabanındaki farkın karesine eşittir: D = √ (C2 + (A-B) 2).

5. Taraf C, çifte alanın tabanlarının toplamıyla bölünme oranına eşittir: C = П / М = 2П / (А + Б).

6. Alan, ürün M (dikdörtgen yamuk hattının orta çizgisi) tarafından bazalara dikey yüksekliğe veya yan kenara belirlenir: П = М * Н = М * С.

7. Yan C, rakamın iki katına çıkarılmış alanının akut açının sinüsünün ve tabanlarının toplamının bölünmesiyle elde edilen bölüme eşittir: C = П / М * sinα = 2П / ((А + Б) * sinα).

8. Dikdörtgen trapezin yan tarafının köşegenleri ve aralarındaki açı ile formülleri:

- sinα = sinβ;

- C = (A1 * A2 / (A + B)) * sinα = (A1 * A2 / (A + B)) * sinβ,

D1 ve D2 trapezin diyagonalleri olduğunda; Α ve β, aralarındaki açılardır.

9. Alt tabanda ve diğer kenardaki açıyla lateral yan formüller: D = (AB) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Dik açılı trapezoid bir trapezoid vaka olduğundan, bu figürleri tanımlayan formüllerin geri kalan kısmı dikdörtgen formata karşılık gelecektir.

Yazılı çevre mülkleri

Durum, bir dairenin dikdörtgen bir yamuk biçiminde yazılmış olduğunu söylüyorsa, aşağıdaki özellikleri kullanabilirsiniz:

- Bazların toplamı yanal yanların toplamına eşittir;

- dikdörtgen şeklin üstünden yazıt halkasının teğet noktalarına olan mesafeler her zaman eşittir;

- yamuğun yüksekliği, yanal kenara eşittir, tabanlara dikeydir ve çemberin çapına eşittir;

Çemberin merkezi , açıların bisectors'larının kesiştiği nokta;

- eğer yanal yan teğet noktası ile H ve M segmentlerine bölünürse , dairenin yarıçapı bu segmentlerin çarpımının kareköküne eşittir;

- teğet noktalarından oluşan bir dörtgen, yamuğun köşesi ve yazıtlı çemberin merkezi, yanları yarıçapa eşit olan bir kare;

- Rakam alanı, bazların çarpımı ve taban yüksekliğindeki yarı toplamının çarpımıdır.

Benzer trapezler

Bu konu bu geometrik şeklin özelliklerini incelemek için çok kullanışlıdır . Örneğin, köşegenler, yamuk biçimini dört üçgen halinde, tabanların bitişiğinde benzer ve yanları eşit olarak bölünür. Bu ifade üçgenlerin mülkü olarak adlandırılabilir; bu yamuk şekli çaprazlarıyla bölünmüştür. Bu iddianın ilk kısmı, benzerlik kriteri vasıtasıyla iki açıdan kanıtlanmıştır. İkinci bölümü ispatlamak için, aşağıda verilen yöntemi kullanmak daha iyidir.

Teoremin kanıtı

ABSD paterninin (AD ve BS - yamuk tabanlı) VD ve AC diyagonalleri tarafından kırıldığını varsayıyoruz. Kavşak noktası O'dur. Dört üçgen elde ediyoruz: AOS - alt taban, BOS - üst tabanda, ABO ve SOD yanal yanlarda. SOD ve BFD'nin üçgenleri, BD ve OD bölümleri baz olduklarında, ortak bir yüksekliğe sahiptir. Alanlarındaki farkın (Π) bu kesimlerin farkına eşit olduğunu görüyoruz: ΠС / / ПСОД = = = / / / Д = = Следовательно Bu nedenle, LDPE = NSP / K. Benzer şekilde, BF ve AOB üçgenleri ortak bir yüksekliğe sahiptir. CO ve OA bölümlerini kendi üsleri olarak alıyoruz. PBO / PAOB = CO / OA = K ve PAOB = PBO / K olsun. Bundan, PSCM = PAOB olduğu görülüyor.

Malzemeyi düzeltmek için, öğrencilerin ortaya çıkan üçgenlerin trapezin çaprazlarıyla bölünmüş olduğu alanlar arasında bir bağlantı bulmaları önerilir ve aşağıdaki problem çözülür. BF ve ADN alanlarının üçgenlerinin eşit olduğu bilinmektedir, yamuk alanı bulmak zorunludur. LDPE = PAOB olduğu için, PABSD = PBO + PAOJD + 2 * PODC olduğu anlamına gelir. BFU ve ADN üçgenlerinin benzerliğinden BD / DD = √ (PBO / PAOD) izler. Sonuç olarak BSP / DPPM = BW / DD = √ (PBO / PAOD). LDP = √ (PBO * PAOD) olsun. Sonra PABSD = PBO + PAOAD + 2 * √ (PAO * PAOD) = (√POPS + √PAOOD) 2.

Benzerlik özellikleri

Bu konuyu geliştirmeye devam ederek, diğer ilginç yamukluk özelliklerini kanıtlamak mümkündür. Böylece, benzerlik kullanarak, bu geometrik şeklin köşegenlerinin bazlara paralel kesişimiyle oluşturulan bir noktadan geçen bir parçanın mülkiyetini kanıtlayabiliriz. Bunu yapmak için, aşağıdaki problemi çöziyoruz: O noktasından geçen kesimin PK uzunluğunu bulmak gereklidir. ADD ve BFD üçgenlerinin benzerliğinden AO / OC = AD / BS'yi takip eder. AOP ve ASB üçgenlerinin benzerliğinden AO / AC = PO / BS = AD / (BS + AD) izler. Buradan PO = BC * AD / (BS + AD) elde ederiz. Benzer şekilde, DKK ve DBS üçgenlerinin benzerliğinden, OK = BS * AD / (BS + AD) izler. Buradan PO = Tamam ve PK = 2 * BS * AD / (BS + AD) olur. Köşegenlerin bazlara paralel ve iki yanlamasına kenarı birleştiren kesimden geçen kesim, yarı kesişen kesişim noktasına bölünür. Uzunluğu rakamın ortalama harmonik temelidir.

Dört puanın özelliği olarak adlandırılan aşağıdaki trapez kalitesini göz önünde bulundurun. Çaprazların (O) kesişme noktaları, yanal uzantıların (E) uzantısının kesişimi ve ayrıca tabanların ortası (T ve M) her zaman bir çizgi üzerine uzanır. Bu, benzerlik yöntemi ile kolayca kanıtlanır. BEC ve AED'in elde ettiği üçgenler benzerdir ve her birinde ET ve EF medyaları E'nin köşesindeki açıyı eşit parçalara bölerler. Sonuç olarak, E, T ve M noktaları bir satır üzerinde yer almaktadır. Tam olarak aynı şekilde, T, 0 ve M noktaları bir düz çizgide bulunur.Bu, BOS ve AOD üçgenlerinin benzerliğinden kaynaklanmaktadır. Dolayısıyla, dört noktanın (E, T, O ve M) bir düz çizgi üzerinde duracağına karar veriyoruz.

Benzer trapezleri kullanarak öğrenciden, figürü iki benzer parçaya bölerek parçanın uzunluğunu (LF) bulmasını isteyebilirsiniz. Bu bölüm üslere paralel olmalıdır. Elde edilen ALFD ve LBSF trapezoidleri benzer olduğundan, BS / LF = LF / AD. LF = √ (BS * AD) şeklindedir. Trapezoidin iki benzer parçaya bölünmesinin, figürün tabanının ortalama geometrik uzunluğuna eşit bir uzunluğa sahip olduğunu görüyoruz.

Aşağıdaki benzerlik özelliğini düşünün. Bu iki eşit büyüklükte parçalara yamuk böler segmenti dayanır. Kabul bu trapez ABSD kademeli iki benzer EH ayrılmıştır. B1 ve B2 - B üstünden bu bölümün yüksekliği iki parça TR ayrılır düşürdü. Elde PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Bundan başka sistem oluştururlar burada birinci denklem (BS + EH) * B 1 = (BP + EH) * B2 ve ikinci (BS + EH) * B 1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Bu izler B2 / B1 (BS + EH) / (BP + EH) ve BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Biz bulmak karesel bazların ortalama uzunluklarına eşit eşit iki hakkında yamuk bölünmesi uzunluğu: √ ((CN2 + AQ2) / 2).

benzerlik sonuçlar

Böylece, kanıtladık:

1. yan taraflarında yamuk orta bağlantı parçası, BP ve BS olarak paralel ve BS aritmetik ortalama BP (bir yamuk taban uzunluğu).

2. diyagonallerin paralel AD ve BC kesişme noktası O boyunca geçen çubuğu harmonik ortalama sayılar, BP ve BS eşit olacaktır (2 x BS x AD / (AD + B)).

3. içindeki yamuk kırma kademeli bir uzunlukta geometrik ortalama bazlar BS ve BP sahiptir.

4. iki eşit boyutu şekil böler elemanı bir uzunluğu olan kare sayıları, BP ve BS anlamına gelir.

öğrencinin kesimleri arasındaki bağların malzeme ve bilincini pekiştirmek için belirli trapezoid için bunları oluşturmak için gerekli olduğunu. yere paralel - şekiller köşegenlerinin kesişme - O kolayca ortalama hat ve noktasından geçer segmenti görüntüleyebilir. Ama nerede üçüncü ve dördüncü olacak? Bu yanıt, ortalama değerler arasındaki bilinmeyen ilişkinin keşfine öğrenciyi yol açacaktır.

yamuğun köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren Segment

Şeklin aşağıdaki özelliği göz önünde bulundurun. Bu kademeli MN kaidelerine paralel olduğunu kabul etmek ve çapraz ikiye böler. kesişme noktası B ve S. Bu kademeli yarım fark nedeni eşit olacaktır olarak adlandırılır. Bize daha ayrıntılı olarak bu inceleyelim. MSH - üçgen ABS ortalama çizgisi, bu BS / 2 eşittir. Minigap - üçgen DBA orta çizgi, o AD / 2 eşittir. Sonra bulmak SHSCH = minigap-MSH nedenle SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

ağırlık merkezi

en Verilen geometrik şekil için öğesini tanımlamak nasıl bakalım. Bunu yapmak için, zıt yönlerde tabanını genişletmek gerekir. Ne anlama geliyor? taraflardan herhangi birine, örneğin, sağa - Üst altına baz ilavesi gereklidir. Daha düşük bir sol üst uzunluğunu uzatır. Sonra, onların diyagonal bağlayın. Şekil merkez hattı ile bu parçanın kesişme noktası trapez ağırlık merkezidir.

Yazılı ve trapez tarif

Diyelim liste böyle şekillerine sahiptir:

1. Hat bunun ikizkenar yalnızca bir daire içinde yer olabilir.

daire çevresinde 2. bazları uzunlukları toplamının iki uzunlukları toplamı olması koşuluyla, bir yamuk olarak tanımlanabilir.

çemberin sonuçları:

1. yamuk yüksekliği her zaman anlatılan iki yarıçapına eşit.

2. tarif yamuk yan dik açılarda dairenin merkezine görülür.

İlk sonuç açıktır ve ikinci yani, aslında, aynı zamanda kolay olmayacak, SOD açısı direkt olduğunu belirlemek için gereklidir kanıtlamak için. Ama bu özelliğin bilgi sorunları çözmek için bir dik üçgen kullanmasını sağlar.

Şimdi bir daire içinde yer ikizkenar yamuk, için sonuçlar belirtin. Bu yükseklik geometrik ortalama rakam bazlar olduğunu elde H = 2R = √ (BS x BP). yamuk sorunlara (iki yükseklikleri prensibi) çözme temel yöntemi yerine getiren, öğrenci aşağıdaki görevi çözmek zorundadır. O BT Kabul - ikizkenar yüksekliği ABSD rakamlar. Sen AT ve AP uzanıyor bulmalıyız. Yukarıdaki, bu yapacak tarif edilen formül uygulamak zor değil.

Şimdi bize alan yamuk tarif gelen dairenin yarıçapını nasıl belirleneceği anlatalım. baz BP üst B yükseklikten atlanmış. daire yamuk içinde yazılı yana, BS + 2AB = BP veya AB = (BS + BP) / 2. Üçgen ABN bulmak sinα itibaren = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Edinme PABSD = (BP + BS) * R şu anlaşılıyor ki R = PABSD / (AD + BC).

.

Tüm formüller trapez orta hatta

Şimdi bu geometrik şeklin son öğeye gitme zamanı. Biz yamuk (M) orta hat ne anlayacaktır:

bazlar ile 1.: M = (A + B) / 2.

boyu, taban ve köşeler sonra 2.:

• M-H A * (ctgα + ctgβ) / 2 =;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

yüksekliğinde ve diyagonal aradaki açıda sayesinde 3.. Örneğin, D1 ve D2 - yamuk çapraz; α, β - aralarındaki açı:

M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

M = R / N: alanı ve yüksekliği içinde 4.