Bir kayan nokta sayısı nedir?

(İngilizce konuşulan ülkelerde alışılmış olduğu gibi, belki de nokta) onlar kayan nokta sayıları olan bir mantisi ve üstü olarak depolanır gerçek (ya da gerçek) sayılar, sunumu. Buna rağmen, sayı sabit bir göreli doğruluk ve mutlak değiştirme ile sağlanır. donanım hem de yazılım - En sık kullanılan Temsil, bilgisayar sistemlerinin uygulanır kayan nokta numaralarını kullanabilirsiniz standart IEEE 754. Matematiksel işlemleri onayladı.

Nokta veya virgül

"Yüzen nokta" - Ondalık ayırıcının ayrıntılı liste tüm noktasının bir fraksiyonel parçası ayrılan sayı kayıtları, bu ülkelerin terminoloji kayan nokta adını benimsemiş çünkü o İngilizce konuşan ülkeler ve anglofitsirovannye tanımlar. Rusya Federasyonu, virgülle ayrılmış geleneğin bütün, kesir kısmına, bu nedenle aynı konsept tarihsel terimini "kayan nokta" takdir etmiştir temsil olarak. Ancak, bugün teknik belgelerinde ve Rus literatüründe bu iki seçeneği de izin verilir.

çizgiler sayılar arasında herhangi bir yere sığabilecek - dönem "kayan nokta" bir konumsal sayı gösterimi virgül (bilgisayar, normal onluk veya ikili) olmasından kaynaklandı. Bu özellik ayrı olarak şart emin olduğunu. Bu kayan nokta sayıları temsil üstel gösterim bilgisayar uygulaması olarak kabul edilebilir anlamına gelir. Bu göreceli doğruluğu değişmeden kaldığı zaman değerleri aralığında bir temsili biçimi sabit nokta ve Tamsayılara böyle bir gösterim kullanmanın avantajı, önemli ölçüde artar.

örnek

Sabit sayısındaki virgül, ardından yakarsanız o sadece bir biçimidir. Örneğin, fraksiyonel kısmında bir dizi, bir altı bit ve iki basamak verilen. Bu yalnızca bu şekilde yapılabilir: 123.456,78. ifadesi için tam kapsamını veren kayan nokta sayıları biçimi. Örneğin, aynı sekiz basamak verilen. toplam sayısı on 8 + 2 olacak ise programcı tipik 10 ve 0 ila 16 arasında olan üslerin kaydedecektir nerede iki basamaklı, görev ek alanını eksik yapmak ve deşarjlar etmezse kayıt seçenekleri herhangi biri olabilir.

Eğer kayan nokta ile sayıları biçimlendirmek sağlayan kayıt, bazı düzenlemeleri: 12345678000000000000; ,0000012345678; 123,45678; 1.2345678 vb. Bu biçimde, hız ölçme hatta bir birim var! Daha ziyade, kayan nokta sayıları temsil olduğu yerde, bilgisayar işlemlerini gerçekleştirir hızını kaydeden bir bilgisayar sisteminin performansı. Bu performans (kayan nokta ile saniyede işlem sayısı çevirir saniyede kayan nokta işlemi) flop açısından ölçülür. Bu ölçüm bilgisayar sistemi hızı temel birimdir.

yapı

Bu kayıt, bir mantissa ve düzen gerçek sayılar gösterir, üstel, çünkü zorunlu parçaları dizisini gözlemlemek şu şekilde kayan nokta biçiminde kayıt numarası gereklidir. Onlar okumak çok daha kolaydır, çok büyük ve çok küçük sayıları ifade etmek gereklidir. Gerekli parça: kaydedilen numarası (N), mantis (M), bir işaret (p) sırası ve düzen, (n). işaretin son iki özellik. Bu nedenle, N = ^M. n, ^s. Yani kayan nokta sayıları yazılı. Örnekler değişik olacaktır.

1. sıfırlar kaybolmak etmemek için bir milyon sayısını kaydetmek için gereklidir. 1000000 - bu normal bir kayıt, aritmetik olduğunu. aşağıdaki gibi bir bilgisayar: ^1.0. 10 ^6. Yani, altıncı güce ondur - çok altı sıfır sığacak üç işaretler. Böylece yazım farklılıkları algılayabilir nerede hemen sabit ve kayan nokta sayıları temsil oluşur.

2. Ve böyle bir sert numara 1435000000 (bir milyar 435000) Ayrıca sadece yazılabilir geçerli: ^{1435. 10} Eylül sadece. Bu yüzden herhangi bir sayıda yazabilirsiniz eksi işareti olduğunu. İşte bu ve sabit ve kayan nokta sayısı ile birbirinden farklıdır.

Ama düşük olması nasıl daha fazlası var? Evet, çok kolay.

bir milyonuncu işareti Örneğin 3.? = 0.000001 ^1.0. 10 ^-6. Büyük ölçüde kolaylaştırılmış ve yazma numaraları ve okumaya.

4. Daha karmaşık? Beş yüz ve kırk altıncı milyarıncı: ,000000546 = ^546. 10 ^-9. İşte. Kayan nokta aralığı çok geniştir.

şekil

Form numarası normal veya normale olabilir. Normal - hep kayan nokta sayıları hassasiyetinin saygı. Formda mantis dikkate işareti almadan, daha sonra aralık 0 1 yarısının 0 ⩽ a <1 olduğu unutulmamalıdır. Sayısının normal biçimi doğruluğunu kaybeder İçinde değil. Normal formun dezavantajı tane sayı farklı şekillerde yazılabilir olmasıdır, yani belirsiz. aynı sayıda örnek, farklı kayıt sayısı: 0 = 0.0001, ^{000001. 10} Şubat = ^{0.00001. 10} Ocak = ^0.0001. 10 ⁰ = ^0.001. 10 ^-1 = ^0.01. 10 ^-2, ve çok daha fazla olabilir. bilgisayar on (dahil değildir) böylece mantis ondalık birimlerinin değerini (dahil) varsayar farklı normalize gösterim, kullanır ve nedeni budur, ve aynı şekilde mantis ikili sayı ikiye biri (dahil) (değil arasında bir değere sahiptir dahil).

Yani, 1 ⩽ a <10 Bu -. Ikili sayılar kayan nokta ile ve (sıfır hariç) herhangi bir sayıda kayıt bu formu benzersiz bir yol yakalar. sıfır bu tür hayal etmek yetersizlik - Ama aynı zamanda bir dezavantaj vardır. Bu nedenle bilişim özel sayılar 0 işareti (bit) kullanımını sağlar. normalleştirilmiş bir şekilde sıfır dışında ikili sayıda mantisin (MSB) tamsayı kısmı 1 (örtük ünitesi) eşittir. Bu kayıt, standart IEEE 754. baz en fazla iki (üçlü, dörtlü ve diğer sistemleri), bu tesis, satın değildir, burada konum sayı sistemi kullanılır.

realse

floating point ve sanki o, değerler ve doğruluk aralığında bir uzlaşma tek, ama gerçek sayısını temsil etmek için çok uygun bir yol değildir gibi genellikle Gerçek sayılar. Bu üstel gösterimine benzer, sadece bilgisayarda yapılan. Kayan nokta sayısı - tek tek bitlik bir dizi işareti (oturum), sırası (üs) ve mantis (Mantis) ayrılmıştır. derece ve bir bit sayının işaretini gösterir - en yaygın biçim, mantis, diğer parçanın içindeki bir bölümünü kodlayan bir bit kümesi olarak IEEE 754 kayan nokta sayısı: Sıfır - pozitif ise birim - sayısı negatif ise. Tüm prosedür bir dizi (kod kayması) ve mantis ile kaydedilir - normalleştirilmiş bir şekilde, fraksiyonel parçası - ikili sistemde.

Her işareti - tüm kayan nokta sayıları için işaretini belirten tek parçasıdır. Mantis ve düzen - onlar işareti ile birlikte, tam sayılardır ve kayan nokta sayıları temsil olun. prosedür, üstel veya üs olarak adlandırılabilir. tüm gerçek sayılar onların tam anlamıyla bir bilgisayarda temsil edilebilir değil, diğerleri yaklaşık değerler sunulmuştur. Daha basit bir seçenek - Gerçek ve bu kısmın tamamının ayrı tutulacaktır sabit noktadan, gerçek bir numara göndermek için. Büyük olasılıkla, böylece tamsayı kısmı buna X bit tahsis edilir ve bir fraksiyonel - Y bitleri. Ama işlemcilerin mimarisi Böyle bir yöntemin farkında değildir, fakat tercih yüzen noktasına sayısı verilir.

ilave

kayan nokta sayılarının eklenmesi oldukça basit. IEEE 754 standardı tek duyarlıklı numarası ile bağlantılı olarak bu bit çok sayıda var, yüzden en küçük kayan nokta numarasını almak için daha iyi bir fikirle, örnekler geçmek için daha iyidir. Örneğin, iki numaraları - X ve Y

Adımlar şunlardır:

a) sayılar normalleştirilmiş formda temsil edilmelidir. Açıkça gizli biridir. X = ^1.110. 2 ^{2 ve} Y = ^1,000. 2 ^0.

b) sadece katılımcı eşitlemek olabilir kompozisyonun işlemine devam ama aslında her ne kadar, bu normalleştirilmiş sayılar değerine karşılık olacak Y. değerini yeniden yazmak gerekiyor - unnormalizes.

Şimdi yani bu değişiklikleri dengelemek için mantis taşımak 0 = 2. böylece sola iki noktada virgül gizli birimler hareketli, ikinci dönemin indeksine 2 ekleyin - derecesi 2'nin üstlerin arasındaki farkı hesaplayın. 0.0100 ^{elde edilir. 2 Şubat.} Bu Y, hâlihazırda Y' orada önceki değerin eşdeğer olacaktır.

c) Şimdi ayarlanmış mantis X ve Y sayısını eklemeniz gerekir

1.110 ± 0.01 = 10.0

Katılımcı hala 2'ye eşittir x parametresi ile temsil edilir.

g), adımında alınan miktar, daha sonra üs toplamı değiştirmesi ve tekrar gerekir, normalizasyon birimi kaymıştır. ondalık noktasının solunda yer alan iki bit 10.0, sayı, örneğin, normalize bir alanına göre sola virgül hareket ve üstel sırasıyla 1. artış, ¹⁰⁰⁰ çıkıyor artık gerekli ^{değildir. 2 Mart.}

e) tek baytlık sisteminde bir kayan nokta sayısı dönüştürmek zamanıdır.

Sonuç

Gördüğünüz gibi, bu rakamlar çok zor değildir virgül yüzen şey eklemek. Elbette sürece, daha arasındaki alt üs sayısını getirerek haricinde tazminat konusunun yani, hem de statükonun restorasyon (yukarıdaki örnekte, bu X'e Y idi) - mantis sola ondalık noktasını taşıyın. sayıları temsil edecek numarayı eşleşmezse perenormirovanie ve kestirme bit - eklenmesi zaten uygulanmış, bu son derece mümkün ve hala bir sorundur.

çarpma

İkili sistem kayan nokta sayıları çarpar hangi iki yöntem sunar. Bu görev, en az önemli bit ile başlayan ve çarpan yüksek bitleri başladığı çarpma ile gerçekleştirilebilir. Her iki durumda da ardışık kısmi ürün istifleme işlemleri bir dizi içerir. Bu işlemler çarpan bitlerinin eklenmesi ile kontrol edilir. çarpan bitlerinin bir birimidir, yani, çarpılan kısmi ürünlerinin toplam karşılık gelen bir kayma ile büyür. çarpan bir rakam, sıfır süzüldü ise çarpılan eklenmez ise.

Çarpma sadece iki sayıyı gerçekleştirilirse, bunun miktarda sayıların ürünü iki kez daha fazla faktöre bulunan basamak sayısını geçemez ve büyük sayılar için çok, çok fazla. Bazı sayısının çarpımına, ürün Ekrana sığmayan riski var. Herhangi bir dijital makine bit sayısı çok sınırlıdır ve bu toplayıcılar basamak sayısının iki katından fazla sınırlandırmak için zorlar için. basamak sayısı sınırlı ise Ve, üründe kaçınılmaz hatalar tanıtacak. hesaplama miktarı büyükse, örtüşme hata, ve bunun bir sonucu olarak büyük ölçüde genel doğruluğunu arttırır. Burada, tek yol - o zaman hata eserler dönüşümlü edildi, çarpma sonucu yuvarlamak için. bir çarpma işlemi, mümkün olduğunda, sabit bir nokta biçiminde temsil edildiği sayısına uygulanan bir sınır yoktur, çünkü, basamak ızgara ötesine, ancak daha küçük tarafından.

bazı açıklamalar

Daha baştan başlatın. virgül çok sonunda ima bir tamsayı olarak satır numaralarını - en yaygın yolu sayısını temsil etmek. Bu dize herhangi bir uzunlukta olabilir, ancak doğru yerde duruyor virgül bunun fraksiyonel bölümünden tamsayı ayıran koymak. sabit nokta sistemin sunum biçimi ille ondalık noktasının yere belirli koşulları koyar. Bilimsel gösterim sayılarının bir temsil standart normalize görünümünü kullanır. Bu aqn {\ displaystyle sulu ^ {n }} sulu n. İşte {\ displaystyle ^a} a ve mantis dantel denir. Sadece bu konuda o 0 ⩽ a n {/ displaystyle n}, n: Bundan başka, tüm zaten ^açık olmalıdır - aynı zamanda bir tamsayı, sayı tabanı temelidir (bir harf, genellikle 10) - bir tamsayıdır üs ve ^q {/ displaystyle q} q. Mantis sıfır değildir, ilk basamağın, sonra virgül bırakın, fakat daha fazla kayıt sayısının mevcut değeri hakkında bilgi aktarılır.

Kayan noktalı sayı tüm açık standart giriş numaraları, sadece üs değeri ve mantis ayrı kaydedilir çok benzer yazılır. İlk önemli rakam ile süslüdür sabit noktadan, - normalleştirilmiş formatta aynı ve son. Sadece noktası yüzen hatta mantis Rearranged noktasını denormalize elektronik sistem onluya değil nereye temsil ve ikili, içinde, yani bilgisayarda öncelikle kullanılır - şimdi, ilk rakamdan önce, o zamandan önce, değil ondan sonra nerede tamsayı parçasıdır ilke olarak, olamaz. Örneğin, kendi ondalık sistemi geçici kullanım için onun dokuz ikili sistem verecekti. Ve bu kayıt ve bu gibi onun mantis kayan nokta: +1001000 ... 0, bu ve indeks 0 ... 0100 ve. Ama ondalık sistem kayan noktanın formu kullanarak, ikili olabilir tür karmaşık hesaplamalar, üretemez.

uzun aritmetik

elektronik bilgisayarlarda yerleşik bilgisayarın bellek boyutu ile sadece sınırlı mantiste ve hafıza belirtilen yazılımın miktarının üs tahsis yazılım paketleri,. Bu bilgisayar gerçekleştirir sayılar üzerinde uzun bir aritmetik, basit operasyonlar gibi görünüyor. çıkarma ve toplama, bölme ve çarpma, temel fonksiyonlar ve kökü inşaatını - Hepsi aynı. Ama çok farklı sayısı, kapasite makine kelimenin uzunluğundan daha büyüktür. Bu operasyonların uygulanması donanım ve yazılım tarafından değil, ama yaygın siparişlerin çok daha küçük sayılarla çalışmak için temel donanım kullanılır. keyfi hassas aritmetik - sayılar uzunluk yalnızca hafıza kapasitesi ile sınırlıdır daha aritmetik vardır. Uzun aritmetik birçok alanda kullanılmaktadır.

1. kodunu (işlemcileri derlemek için, düşük bit derinliği olan mikro denetleyici - 10 bit kayıt ve sekiz bitlik bir sözcük uzunluğu, uzun bir aritmetik olmadan yapamaz nedenle Analog-dijital (analog-dijital dönüştürücü) gelen bilgileri işlemek için yeterli değildir ve.

2. Aynı zamanda, uzun bir aritmetiği ^10,309 için üs veya çarpma sonucunda doğruluğunu sağlamak için gerekli olan kriptografi için kullanılır ^edilir. Tamsayı aritmetik modülo m kullanılır - büyük bir doğal sayı ve zorunlu olarak basit değildir.

bilgisayar yardımı ile, sayıların yüksek doğruluk sağlayan - tek yolu kağıt üzerinde hesaplamaların sonuçları doğrulamak için, çünkü finanse edenlerin matematikçiler için 3. Yazılım de, uzun bir aritmetik yok değil. noktası Kayan uzun boşalma herhangi bir sayıda içerebilir. o hata yapmadan giriş verilerini yapmak çok zordur çünkü mühendislik hesaplamaları ve bilim adamlarının çalışmaları, çok sık müdahale programı hesaplamalar gerektirir. genellikle çok daha hacimli yuvarlama sonuçlarına göre daha vardır.

Hatalarla Mücadele

Ne zaman kayan nokta, çok zor olduğu operasyonların bir dizi sonuçlarının doğruluğunu değerlendirmek için. Henüz bu sorunu çözmek için yardımcı olacağını tüm matematiksel teori tatmin icat edilmedi. Ama hata tamsayı kolayca değerlendirir. olasılığı yüzeyindeki yanlışlıklar kurtulmak - sadece sabit noktanın sadece numarasını kullanabilirsiniz. Örneğin, bir finansal programı bu prensip üzerine inşa. Ancak, daha basit vardır: ondalık hanelerin gerekli sayıda önceden bilinir.

Eğer çok küçük ya da çok büyük sayılar ya çalışmaz, çünkü diğer uygulamalar, bunlarla sınırlı değildir. Çalışırken yüzden hep yanlışlıklar olabileceğini dikkate alır ve sonuçların türetme çünkü tura gereklidir. Ayrıca, otomatik yuvarlama genellikle bir eylem olmaması ve bu nedenle de tanımlanmaktadır yuvarlama. Bu bağlamda, karşılaştırma işleminde Çok tehlikeli. Hatta gelecekte hataların miktarını Orada tahmin ediyor son derece zordur.