Riemann Hipotezi. asal sayıların dağılımı

1900 yılında son yüzyılın en büyük bilim adamlarından biri olan David Hilbert matematik 23 çözülmemiş sorunların oluşan bir listesini yaptı. üzerlerinde çalışmak insan bilgisinin Bu alanın gelişimi üzerinde muazzam bir etkisi oldu. Clay Matematik Enstitüsü'nün 100 yıl sonra Milenyum hedefleri olarak bilinen yedi sorunların bir listesini sundu. bunların her kararı için 1 milyon $ ödül teklif edildi.

Yüzyıllar bilim adamlarına kalanını vermedi için, bulmaca iki liste arasında yer aldı tek sorun, Riemann hipotezi oldu. Halen kararını bekliyor.

Kısa biyografik bilgiler

Georg Friedrich Bernhard Riemann fakir papaz büyük bir ailede, Hannover'de 1826 yılında doğdu ve 39 yaşındaydı yaşadı. O 10 bildiri yayımlamak başardı. Ancak, Riemann ömrü boyunca onun öğretmeni Johann Gauss bir halefi olarak kabul. 25 yaşındayken, genç bilim adamı tezini savunan "karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi Vakıflar." Daha sonra meşhur oldu hipotezini, formüle.

asal

Adam saymaya öğrenince Matematik geldi. Ardından daha sonra sınıflandırmak için çalıştı numaraları, ilk fikri ortaya çıktı. Bunlardan bazı ortak özelliklere sahip olduğu gözlenmiştir. Özellikle, doğal sayılar m., E. hesabı (numaralandırma) 'de kullanılmış olan olanlar veya öğe belirlenmiş sayıda yalnızca biri ve kendi başlarına ayrılır gibi bir grup tahsis edilmiştir. Bunlar basit çağrıldı. onun "Elements" in Öklid tarafından verilen sayıların teoremi sonsuz kümesinin zarif kanıtı. Şu anda, aramalarını devam ediyor. Özel olarak, bilinen ² 74207281 bir dizi büyük - 1.

Euler formülü

Öklid tanımlanan sonsuz sayıda asal kavramı ve ikinci teoremi mümkün olan tek çarpanlara ile birlikte. buna göre herhangi bir pozitif tamsayı asal sadece bir dizi ürünüdür. 1737 yılında, büyük Alman matematikçi Leonhard Euler aşağıda gösterilen formülü haiz sonsuzluğa Öklid teoreminin ilk olarak ifade edilmiştir.

sabit ve p tüm basit değerindedir - O ler zeta fonksiyonu, denir. ondan doğrudan takip ve Öklid genişleme teklik onayı.

Riemann zeta fonksiyonu

Basit ve tamsayılar arasındaki oranla verilen olarak yakından bakıldığında Euler formülü, oldukça dikkat çekici. Sonuçta, onun sol tarafında basit sadece bağlı sonsuz sayıda ifadeleri çarpılır ve sağ miktarda tüm pozitif tamsayılar ile ilişkilidir.

Riemann Euler devam etti. sayı dağılımı probleminin anahtarı bulmak amacıyla, hem gerçek ve kompleks bir değişken için formül tanımlamak için önerilmiştir. Daha sonra Riemann zeta fonksiyonu olarak tanındı kişi oydu. 1859 yılında bilim adamı bütün fikirlerini özetledi, "önceden belirlenmiş bir değeri aşmaması asal sayısı Üzerine" başlıklı bir makale yayınladı.

Riemann tüm gerçek s> 1 için bir Euler sayısının, yakınsak kullanımını önermiştir. Aynı formül, s için kullanılırsa, o zaman serisi, gerçek kısmı ile değişken herhangi bir değeri için yakınsayacağı 1'den büyük Riemann bütün karmaşık sayılar için zeta (ler) in tanımı genişleyen ancak birimi "atar" prosedürün analitik devam kullanılmaktadır. s sonsuza 1 zeta fonksiyonu artar = eğer, çünkü mümkün değildi.

pratik anlamda

soru ortaya çıkıyor: Boş hipotezin üzerinde Riemann çalışmalarında önemlidir ilginç ve önemli zeta fonksiyonu, nedir? Bildiğiniz gibi, şu anda doğal arasında asal sayıların dağılımı açıklar basit bir desen bulunamadı. x üstün değildir asal sayılar, pi (x) sayısı, sıradan olmayan sıfır zeta dağılımının ile ifade edilir algılandı Riemann. Dahası, Riemann hipotezi belirli şifreleme algoritmalarının geçici değerlendirmelerini kanıtlamak için gerekli bir koşuldur.

Riemann hipotezi

Bu matematiksel problemin ilk formülasyonların biri bu güne kadar kanıtlanmış değildir, şudur: önemsiz 0 zeta fonksiyonu - ½ eşit gerçek kısmı ile kompleks sayılar. Diğer bir deyişle, düz bir çizgi Re s = ½ üzerinde düzenlenmiştir.

Orada aynı ifadedir genelleştirilmiş Riemann hipotezi de, ama Dirichlet denir zeta-fonksiyonların, genelleştirilmesi için (bkz. Aşağıdaki Foto) L-fonksiyonları.

sayısal karakteri (mod k) - formülüne kay kare testi (n) 'de.

Varolan örnek verilerle tutarlılık için doğrulandı olarak Riemann açıklamada, sözde sıfır hipotezi olduğunu.

Ben Riemann ileri sürdüğü gibi

Not Alman matematikçi başlangıçta oldukça gelişigüzel formüle edilmiştir. Aslında o dönemde bilim adamı asal sayıların dağılımı üzerinde teoremi ispatlamak için gittiğini ve bu bağlamda, bu hipotez çok etkisi olmamasıdır. Ancak, birçok diğer konuların ele alınmasında rolü büyüktür. için Riemann hipotezi artık pek çok bilim adamı kanıtlanmamış matematiksel problemlerin önemli fark nedeni budur.

Önceden bahsedildiği gibi, tam Riemann hipotezi dağılımına gerekli değildir teoremi kanıtlamak ve oldukça mantıklı zeta fonksiyonunun olmayan her hangi bir sıfır gerçek bölümü Bu özellik, ifade eder 0 ile 1 arasında olduğunu kanıtlamak için tüm 0-m toplamı yukarıda tam olarak formül görünür zeta fonksiyonu, - sonlu sabiti. x'in büyük değerleri için, tüm kaybolabilir. Hatta çok yüksek olan x, değişmeden kalacaktır formülü, tek üyesi x kendisidir. onunla karşılaştırıldığında karmaşık terimlerin kalanı asimptotik kaybolur. Bu durumda, ağırlıklı toplamı x eğilimindedir. Bu gerçek asal sayı teoremi gerçeğinin kanıtı olarak kabul edilebilir. Böylece, Riemann zeta fonksiyonu özel bir role görünür. Bu değerlerin genişleme formül anlamlı ölçüde katkıda bulunmamaktadır ki kanıtlamaktır.

Riemann takipçileri

tüberkülozdan trajik ölümü bilim adamı programının mantıksal ucuna getirmek engelledi. Ancak, o W-F bayrağı aldı. De La Vallee Poussin'in ve Zhak Adamar. Birbirinden bağımsız onlar asal sayı teoremi çekilmişti. A. Edison ve Poussin tüm nontrivial 0 zeta fonksiyonu kritik bant içinde yer aldığını kanıtlamak başardı.

Bu bilim adamlarının çalışmaları sayesinde matematik yeni şube - sayıların analitik teorisi. Daha sonra diğer araştırmacılar teoremi Roma'da çalışıyordu biraz daha ilkel kanıt aldık. Özellikle, Pal Erdös ve Atle Selberg da mantık son derece karmaşık bir zincir teyit açmış, kompleks analiz kullanımını gerektirmez. Ancak bu noktada birçok önemli teoremleri ile Riemann fikri sayılar teorisi birçok fonksiyonlar yaklaşım da dahil olmak üzere kanıtlanmıştır. Bu yeni çalışmanın erdos ve Atle Selberg ile bağlantılı olarak hemen hemen hiçbir şey etkilenmez.

Sorunun basit ve en güzel kanıt biri Donald Newman tarafından 1980 yılında bulunmuştur. Bu iyi bilinen Cauchy teoremi dayanıyordu.

Riemann 'hipotezi modern şifrelemenin temelidir eğer Tehdit

Veri şifreleme karakterlerin görünümü ile ortaya çıkan, daha doğrusu, kendilerini ilk kod olarak kabul edilebilir. Şu anda, şifreleme algoritmalarının geliştirme yapan bir dijital şifreleme, yepyeni bir trend var.

Basit ve "Yarıbasit" sayısı m., E., sadece aynı sınıfa ait iki diğer numaraları ayrılır ki olanlar, RSA gibi bilinen bir kamu anahtarı sistemi temelini oluşturur. Bu geniş uygulama alanına sahiptir. Özellikle, bu bir elektronik imzanın üretilmesine kullanılır. biz mevcut "çaydanlık" anlamında konuşursak, Riemann hipotezi asal sayılar dağılımında sistemin varlığını iddia eder. Böylece, önemli ölçüde e-ticarette online işlemlerin güvenliğini dayandığı kriptografik anahtarların direnci azaltılmış.

Diğer çözülmemiş matematik problemleri

Komple makale milenyumun diğer görevler için birkaç kelime adıyorum değer. Bunlar arasında:

• sınıfları P ve NP eşitliği. Verilen soruya olumlu cevap polinom zamanlı olarak doğrulandığı takdirde o zaman, kendisinin de bu sorunun cevabı çabuk bulunabilir doğrudur: Sorun şu şekilde formüle edilir?
• Hodge varsayım. Basit olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir: yansıtmalı cebirsel manifold bazı tipleri için (boşluk) Hodge döngüleri geometrik yorumlama, örneğin, cebirsel döngüleri nesneler kombinasyonları ...
• Poincare varsayımı. Bu an milenyum sorunlara kanıtlanmış tek olduğunu. buna göre, 3-boyutlu bir alanın belirli özelliklere sahip herhangi bir üç boyutlu nesne, küre deformasyona doğru olmalıdır.
• Mills teorisi - Kuantum Yang onaylanması. Biz, kuantum teorisi ispat alan ^R4 bu bilim adamları tarafından ortaya koymak ^gerekir, kompakt bir grup G. herhangi bir basit kalibrasyonu için bir 0-kütle bozukluk vardır
• Birch varsayımı - Swinnerton-Dyer. Bu Kriptolamaya ile alakalı diğer bir sorundur. Bu eliptik eğrileri ile ilgilidir.
• Stokes denklemlerinin - Navier çözümlerinin varlığı ve pürüzsüzlük sorunu.

Şimdi Riemann hipotezini biliyorum. Basit bir ifadeyle, biz formüle ve milenyumun diğer amaçlarından bazıları var. onlar çözülecek ya da hiçbir çözüm olduğunu kanıtladı olması - bu zaman meselesi. Ve bu matematik giderek bilgisayarların hesaplama gücünü kullanarak gibi, çok uzun beklemek zorunda olası değildir. Ancak, her şey sanat tabidir ve bilimsel sorunları çözmek için öncelikle sezgi ve yaratıcılık gerektirir.