Boole cebri. mantık cebiri. Matematiksel mantık elemanları

Günümüz dünyasında giderek makine ve cihazların çeşitli kullanıyor. Ve bu anlamıyla süper insan gücü uygulamak için gerekli olan sadece zaman: Otomobil bugün robotlar toplamak, vb yüksekliğe yükseltmek uzun ve derin siper kazmak için yük taşımak, gıda Multivarki ve temel aritmetik hesaplamaları hesap makineleri üretmek pişirilir ... Giderek daha sık biz ifadesini "Boole cebri" duymak. Belki zaman matematiksel değil, aynı zamanda sadece çözme yeteneği robotlar ve makinelerin oluşturulmasında insan rolünü anlamak için geldi mantıksal problemleri.

mantık

Yunan mantıkta - Verilen koşullar arasındaki ilişkiyi oluşturur ve varsayımlara ve tahminlere dayanarak çıkarımlar yapmanızı sağlar düşünce sıralı sistem. Oldukça sık, birbirimize soruyoruz: "Bu mantıklı için" yanıtı bizim varsayımlar teyit ya düşünce dizisi eleştiriyor. Fakat süreç burada bitmiyor: Biz konuşmaya devam.

Bazen koşullar (giriş) sayısı kadar büyük olduğunu ve aralarındaki ilişki insan beyni aynı anda tüm "sindirmek" mümkün değildir ki kafa karıştırıcı ve karmaşık. Sen ne olup bittiğini anlamak için birden fazla ay (hafta, yıl) gerekebilir. Fakat modern hayatın bizi kararlar vermek için bu zaman aralıklarını vermez. Ve bilgisayarların yardımına başvurmak. Ve onun yasalarına ve özelliklere sahip, bir cebir ve mantık olduğunu burada. Orijinal verilerin tümünü indirdikten sonra, bilgisayar çelişkileri ortadan kaldırmak ve tatmin edici bir çözüm bulmak için, bütün ilişkileri algılamasını sağlar.

Matematik ve mantık

Ünlü Gotfrid Vilgelm Leybnits görevleri bilim adamlarının sadece küçük bir daire anlamak kolay olduğunu "matematiksel mantık", kavramını formüle. Özellikle ilgi neden olmadı yönü olduğunu ve birkaç tarafından bilinen matematiksel mantık XIX yüzyılın ortalarına.

bilim dünyasında büyük ilgi İngiliz Dzhordzh Bul kesinlikle hiçbir pratik kullanımı olmaması, matematik bir şube kurmak için niyetini beyan ettiği bir anlaşmazlık neden oldu. biz aktif sanayi üretimini geliştirerek bu zamanda, tarihten bildiği gibi, yardımcı makinelerin her türlü geliştirdi, t., E. Bütün bilimsel keşifler pratik yönelim oldu.

İleriye dönük olarak, demek ki Boole cebri - Dünyadaki matematik bugün kısmı en çok kullanılan. Yani argüman Buhl kaybetti.

Dzhordzh Bul

yazarın kişiliği özel ilgiyi hak. Hatta geçmiş insanlar bizden önce büyüdü de, yine de John. Buhl 16 yıllık köy okulunda öğretilen ve 20 yaş Lincoln kendi okul açtı unutulmamalıdır gerçeğini verilen. Matematikçi mükemmel beş yabancı dil hakim ve boş zamanlarında, Newton ve Lagrange eserlerini okuyordu. Ve tüm bu - sıradan bir işçinin oğlu üzerinde!

1839 yılında Buhl Cambridge Mathematical Journal ilk bilimsel makale gönderdi. Bilim adamı 24 yıl döndü. Boole çalışması o gelişmesine katkılarından dolayı madalya verildi 1844 yılında Royal Society kadar ilgileniyor üyeleri vardır matematiksel analiz. Matematiksel mantık elemanları, matematik Mantar İlçesi College profesörü görevini almaya genç izin verdiği birkaç yayınlanmış makaleler tarif edildi. Çok Boole eğitim hatırlayın değildi.

Fikir

Prensip olarak, Boole cebri çok basittir. Orada tablolar (mantıksal matematik açısından, sadece iki kelimeyle tanımlanabilir, ifadeler): "true" veya "false". Örneğin, bahar çiçek ağaçlar - gerçeği, yaz aylarında kar yağar - yalan. matematik güzelliği sadece numaraları kullanmak kesinlikle gerekli olmamasıdır. cebir yargılar için oldukça benzersiz anlamı olan herhangi bir ifade uygun.

Böylece, mantık cebir anlamıyla her yerde kullanılabilir: etkinlik ve eylemler dizisinin belirlenmesi konusunda çelişkili bilgiler planlama ve yazma eğitiminde, analizi. En önemli şey - biz ifadelerin doğruluğu veya yanlışlığını tespit nasıl önemli olmadığını fark. Bu "nasıl" ve "neden" görmezden gerek itibaren. Önemli olan gerçeğin sadece bir ifadedir: Gerçek şu ki bir yalandır.

Tabii ki, uygun işaret ve sembollerle kaydedilir mantık cebir en önemli işlevleri programlama. Ve bunları öğrenmek - bu yeni yabancı dil öğrenmek demektir. Hiçbir şey imkansız.

Temel kavramlar ve tanımlar

derinlemesine inmeden, terminoloji ile uğraşmak. Yani, Boole cebri önceden varsayar:

• ifadeleri;
• mantıksal işlemler;
• fonksiyonları ve yasaları.

Tablolar - İki değerli yorumlanabilir herhangi olumlu ifadesi. Bu sayı (5> 3) veya formüle bilinen kelimeler (- büyük memeli fil) yazılır. Bu durumda, ifade de var olma hakkına sahiptir, ancak Boole cebri olarak tanımlamak "zürafanın boynu değil" "Yalan."

Tüm ifadeler belirsiz olmalı, ama bunlar temel veya bileşik olabilir. Son kullanım mantıksal demeti. temel mantık işlemler eklenmesiyle oluşturulan cebir ifadeleri yargılar bileşikte E.

Boole cebri işlemleri

Zaten kararların cebir o operasyonları unutmayın - mantıksal. Sadece toplama, çıkarma, veya sayıları karşılaştırmak için aritmetik işlemleri kullanarak sayılar cebir olarak, matematiksel mantık elemanları inkar etmek veya nihai sonucu hesaplamak için karmaşık açıklamalar yapmaya izin verir.

Aritmetik bize bilgi sahibi formül ile ifade edilen biçimlendirme ve basitlik için Mantık işlemleri. Boole cebri denklemlerinin Özellikleri mümkün kaydetmek ve bilinmeyen hesaplamak olun. Mantıksal işlemler genellikle doğruluk tablosu tarafından kaydedilir. Bu elementleri, üzerlerine gerçekleştirilir sütun ve işlem işlemi tarif eder, ve satırları hesaplamaların sonucu göstermektedir.

eylemin temel mantığı

Boole cebri operasyonlarında en yaygın olumsuzluk (NOT), ve YA mantıksal AND ve. Bu yüzden pratikte cebir kararları tüm adımları tarif etmek mümkündür. Biz detaylı olarak üç operasyonların her okudu.

olumsuzluk (değil) sadece tek bir eleman (işlenen) uygulanır. Bu nedenle, işlem tekli olumsuzluk olarak adlandırılır. "Değil bir" kullanarak bu tür semboller kavramını kaydetmek için: ¬ â, A veya A !. tablo şeklinde bu şuna benzer:

Böyle bir ifadenin tipik inkar işlevi: Bir doğruysa, o zaman A - yanlıştır. Örneğin, ay dünya etrafında dönerken - gerçeği; Yalan - Toprak ayın etrafında döner.

Mantıksal çarpma ve toplama

Mantıksal AND işlemi bir bağlaç denir. Ne anlama geliyor? .. İkili işlem - İlk olarak, yani ben, iki operand uygulanabilir olduğunu. İkinci olarak, sadece her iki işlenen (A ve B her ikisi de) gerçeği durumunda doğrudur ve sentezleme kendisi. atasözü, "Sabır ve biraz çaba" sadece iki faktör bir kişinin zorluklarla başa yardımcı olabilir anlamına gelir.

A∧B, A⋅B veya A && B: burada semboller, kayıt için kullanılan

Bağlaç aritmetik çarpma benzer. Bazen ve de ki - mantıksal çarpma. tablonun satır öğelerini çarpın, biz mantıksal düşünme benzer bir sonuç almak.

Ayrılma mantıksal VEYA işlemi bir taslaktır. tabloların en az biri doğru (A veya B ya da) ise, bu doğrudur. A∨B, A + B veya A || B.: Böyle yazılır Bu işlemler için doğruluk tablosu gibidir:

Benzer aritmetik ilave parçalanma. 1 + 1 = 1: mantıksal toplama işlemi sadece tek bir kısıtlama vardır. Ama biz bir dijital formatta matematiksel mantık 0 ve 1 ile sınırlıdır unutmayın (burada 1 - gerçeği, 0 - yanlış). Örneğin, "Eğer bir başyapıt bakın veya iyi bir şirket bulabilirsiniz müzede" deyimi sanat eserleri ne görebilirsiniz anlamına gelir ve ilginç bir kişi karşılamak mümkündür. Aynı zamanda, her iki olayların eşzamanlı yerine getirilmesi ihtimalini ortadan yok.

Fonksiyonlar ve kanunlar

Yani, biz zaten mantıksal işlem Boole cebir kullanarak biliyorum. Fonksiyonlar matematiksel mantığın elementlerin bütün özelliklerini açıklamak ve bize karmaşık bileşik ifadeleri basitleştirmek için izin verir. En açık ve basit türevleri operasyonların ret özelliği görünüyor. Tarafından türevleri XOR ima denkliğini anlaşılmalıdır. Biz sadece temel işlemleri ile okuyun ve sonra özellik de gibi sadece bunları göz önünde bulundurun.

Birleşim gibi tablolarda "A ve B, ve işlenenlerden B 'dizisi listeleme hem önemli değil demektir. aşağıdaki şekilde formül yazılıdır:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Gördüğünüz gibi, bu arada ama ayrılmalara özgü değildir.

Yerdeğiştirme birlikte veya disjunction sonucu öğesi başlangıçta kabul edildi bağlı değildir savunuyor:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity kompleks mantıksal ifadelerde parantez tarif sağlar. Kurallar cebir çarpım ve ek olarak açılan parantez benzer:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Cihaz özellikleri ve işlenen bir de sıfır veya bir, bir birim eklenerek cebirsel çarpma benzer olabilir sıfırdan:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency operasyonun nispeten iki eşit işlenenler sonuç aynı ise, aşırı komplike muhakeme işlenenlerini "atmak" söyler. Ve birlikte ve parçalanma işlemleri İdempotent bulunmaktadır.

B∧B = B; B∨B = B.

Edinim da bize denklemi basitleştirmek için izin verir. Emme ifadesi bir işlenen uygulandığı zaman, sonuç işlenen aynı elemanla başka bir işlem işlem emici olduğunu belirtir.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

işlemlerin sırası

işlemlerin sırası büyük önem taşımaktadır. Aslında cebir gelince, bir Boole cebir kullanan bir öncelik işlevi yoktur. Formüller operasyonların önemine tabi sadece basitleştirilmiş olabilir. ihmal edilebilir en önemli sıralaması, aşağıdaki sekans elde:

1. Reddi.

2. Bağlaç.

3. ayrılma, XOR.

4. ima, eşdeğerlik.

Eğer birlikte bir tek olumsuzlamasıydı görebilir ve eşit önceliğe yok gibi. ayrılma ve XOR bir öncelik eşit olarak ima ve eşdeğerlik önem vermektedir.

içerme ve denklik İşlevleri

Biz bahsedilen gibi, temel lojik ile ilişkili işlemler, matematiksel mantık ve türevleri kullanarak algoritma teorisine ek olarak. Bu en sık ima ve denklik olduğunu.

ima veya mantıksal sonucu - bir eylem bir koşulu olduğu bu açıklama, ve diğer - bunun uygulanması sonucu. Başka bir deyişle, "o zaman ... eğer" bahanesiyle bu öneriyi. "Yemekten sonra hesaplaşma gelir." Sürüş için E. kızak tepede sıkılır. Dağdan aşağı hareket ettirin ve ardından kızak sürüklemek için hiçbir arzusu yoksa gerekli değildir. böylece yazılır: A → B veya A⇒B.

Denklik net etki her iki işlenen doğruysa yalnızca ortaya çıktığını göstermektedir. Güneş ufukta yükselir Örneğin, gece, (ancak o zaman ve) hangi gün yol verir. Bu ifadenin matematiksel mantık dilinde A≡B, A⇔B A == B olarak yazılır

Boole cebri diğer yasalar

Cebir kararı geliştirir ve birçok ilgilenen bilim adamları yeni yasalar formüle etmek. kabul edilir en ünlü İskoç matematikçi O. De Morgan varsayar. Farkına ve yakın reddi, ekleme ve çift negatif gibi özelliklerin tanımı verdi.

Yakın inkar parantez önce hiç inkar düşündürmektedir: değil (A veya B) = değil A veya B DEĞİL

işlenen inkar edildiğinde, ne olursa olsun değer, ek hakkında ki:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Ve son olarak, çift olumsuzluk kendisi telafi eder. yani Ya işlenen olumsuzluk kaybolur veya tek kalır önce.

testleri çözmek için nasıl

Mantık Sadeleştirme önceden belirlenmiş denklemleri ima eder. Sadece Lie cebir içinde, maksimum (onlarla komplike giriş işlemlerinin kurtulmak ve almak için) ilk koşulu kolaylaştırmak için gerekli olduğu gibi, o zaman doğru cevap aramaya başlayın.

Ne basitleştirmek için ne yapmak? Basit bir işlemle tüm türevleri dönüştürün. Daha sonra, (bu eleman azaltmak için parantez yapmak için, ya da tam tersi ya da) tüm parantez ortaya çıkarır. Bir sonraki adım, Boole uygulamada cebri özelliklerini kullanmak gerekir (emme özelliklerini sıfır ve bir ve t.).

Son olarak, denklem basit işlemler ile kombine bilinmeyen en az sayıda, oluşmalıdır. Eğer yakın negatifleri çok sayıda yaparsanız kolay yolu, bir çözüm aramaya. Sonra cevabı kendi başına sanki açılacaktır.